La diffusion est un outil fondamental pour
étudier
un certain nombre de systèmes physiques. Dans une expérience de diffusion, les
particules de différents états initiaux interagissent avec le système diffuseur
et les caractéristiques de ces particules sont alors modifiées. Nous
étudions
ici les phénomènes chaotiques engendrés par le système diffuseur de Gaspard-Rice.
On mettra en évidence les phénomènes fractals associés au chaos et l'on mesurera
la dimension fractale du diffuseur.
Le système de Gaspard-Rice consiste à faire réfléchir des particules assimilées
à des points sur la surface de trois disques dans un plan à deux dimensions. Le rayon des disques est égal à $R_{1}=R_{2}=R_{3}=1$. La distance entre chacun des disques est égale à $d=2.5$. Les disques sont situés à $x=-d\sqrt{3}/6$, $y=d/2$ (disque du haut), $x=d\sqrt{3}/3$, $y=0$ (disque de droite) et $x=−d\sqrt{3}/6$, $y=−d/2$ (disque du bas). Initialement, la
particule arrive par la gauche parallèlement à l'axe $Ox$ avec une ordonnée notée "$b$", c'est à
dire la distance entre l'axe $0x$ et la trajectoire initiale. L'angle avec lequel la particule sort du système dépend
de la valeur du paramètre $b$ et nous écrivons $\theta=\theta(b)$. Le temps $T$ (appelé temps de retard) que passe la particule dans la région de diffusion est aussi dépendant de $b$ et est égal à un facteur près à la distance parcourue par la particule depuis son départ jusqu'à sa sortie du système: on peut donc noter $T=T(b)$
Nous allons voir tout d'abord le caractère chaotique de ce système. Notre interface Matlab permet de calculer l'angle de sortie en fonction de l'ordonnée d'entrée $b$. Voici un exemple ci-dessous de trajectoires obtenues pour $b=0.21005$ et $b=0.21010$ :
Figure 1 : Interface Matlab - Trajectoire pour $b=0.21005$
Figure 2 : Interface Matlab - Trajectoire pour $b=0.21010$
Les 2 angles de sortie sont proches et l'on dit que ces conditions initiales sont "certaines" contre de petites perturbations. Ce
comportement a lieu si les conditions initiales sont choisies dans la gamme où les fonctions de diffusion $\theta(b)$ (angle de sortie versus ordonnée $b$) et de temps de retard $T(b)$ (distance versus ordonnée $b$) sont régulières.
Cependant, dû à la présence de singularités
dans ces fonctions, il peut arriver que deux conditions initiales proches
aboutissent à des trajectoires qui se comportent très
différemment. En particulier, le nombre de rebonds entre les disques durs ne sera pas le même. On appelle de telles conditions initiales "incertaines"
contre des petites perturbations. Ceci est illustré sur les figures
suivantes (avec $b=0.33005$ et $b=0.33010$):
Figure 3 : Interface Matlab - Trajectoire pour $b=0.33005$
Figure 4 : Interface Matlab - Trajectoire pour $b=0.33010$
Nous voyons qu'au voisinage $b=0.33$ des paramètres d'impact, une petite différence
sur les conditions initiales donne une grande différence dans les trajectoires de
sortie. Cette sensibilité sur les conditions initiales est une signature claire
du chaos. Cette dépendance se produit pour de nombreux paramètres d'impact
(en fait, un nombre infini). Ce comportement peut être vu dans la figure suivante
où $\theta(b)$ est calculé sur $100000$ points de $b$ dans l'intervalle
$0 < b <0.5$.
Figure 5 : Représentation de l'angle de sortie pour $0 < b <0.5$
On peut distinguer à la fois des zones continues et des parties
oscillantes. Ce double caractère se répète sur des échelles
plus petites. La figure suivante montre que le comportement de $\theta$ pour $0.383 < b < 0.391$
est similaire au comportement montré sur la figure précédente.
Figure 6 : Représentation de l'angle de sortie pour $0.383 < b <0.391$
Pour quantifier la nature fractale du système, un paramètre est souvent utilisé : la dimension d'incertitude. Elle a été d'abord introduite par Celso Grebogi pour caractériser les limites fractales qui surviennent communément dans les systèmes chaotiques dissipatifs avec des attracteurs multiples. Il a été conjecturé que la dimension d'incertitude est égale à la dimension fractale des positions chaotiques typiques. La procédure pour calculer la dimension d'incertitude est la suivante :
pour une perturbation $\epsilon$ donnée,
on peut calculer la fraction de conditions initiales incertaines $f(\epsilon)$
pour plusieurs conditions initiales choisies aléatoirement. Dans notre
expérience numérique, $f(\epsilon)$ a été obtenue en
accumulant $10000$ conditions initiales aléatoires pour chaque chacune des $200$ valeurs de perturbation $\epsilon$ choisies dans l'intervalle $[10^{-8},10^{-2}]$. Quand $\epsilon$
décroît, on s'attend à ce que $f(\epsilon)$ aussi. La figure ci-dessous montre les résultats du calcul de $f(\epsilon)$ :
Figure 7 : Calcul de la dimension d'incertitude pour 200 valeurs de perturbation $\epsilon$
Dans la plupart des situations physiques, $f(\epsilon)$ varie avec $\epsilon$ comme :
$f(\epsilon) \propto \epsilon^{\alpha}$ où $\alpha$ est l'exposant
d'incertitude. La dimension de la position fractale est donnée par :
$D=1-\alpha$. Intuitivement, obtenir le nombre de conditions initiales
incertaines pour des perturbations de différents ordres d'ampleur est
équivalent à compter le nombre de singularités dans les
fonctions de diffusion et de temps de retard pour différentes
échelles. L'algorithme d'incertitude offre un bon avantage de calcul parce
qu'il requiert relativement peu de mémoire en comparaison à la
procédure des boîtes comptantes. Nous représentons la fraction d'incertitude
$f(\epsilon)$ en fonction de la perturbation $\epsilon$ sur une
échelle logarithmique, où $\epsilon$ varie par sept ordre de
grandeurs. Le graphique peut être assez bien ajusté par une ligne
droite: la pente de celle-ci est $\alpha=0.412044\pm0.00401$. On conclut que la
dimension fractale de la position des singularités dans les fonctions de
diffusion et de temps de retard est $D=1-\alpha=0.587956\pm0.00401$.
