La dérivée covariante est une des notions clés dans l'étude et la compréhension du calcul tensoriel. Cette opération est souvent difficile à appréhender car elle dépasse la perception intuitive de l'espace euclidien classique, notamment par le concept de transport parallèle le long d'une géodésique. Sur cette page est présentée une simulation WebGL permettant de reproduire le transport parallèle d'un vecteur dans un espace courbe (ici la surface d'une sphère); Le but est de mieux saisir en quoi consiste cette opération et comment elle se traduit d'un point de vue mathématique, ceci grâce à la définition de la dérivée covariante.
Nous allons dans cette partie calculer l'expression des symboles de Christoffel sur l'espace considéré. Cela nous permettra ensuite d'exprimer l'équation des géodésiques,
c'est-à-dire les plus courts chemins reliant deux points sur la surface. Ces géodésiques sont aussi appelées "Grands Cercles".
Quand la matrice du tenseur métrique est diagonale, on peut calculer facilement les symboles de Christoffel intervenant dans l'expression des géodésiques et de la dérivée covariante. Voici les 2 formules :
\begin{equation}
\left.\begin{align}
\Gamma^{i}_{ij}&=\Gamma^{i}_{ji}=\dfrac{1}{2}\,\partial_{j}\,\ln|g_{ii}|\\
\Gamma^{i}_{jj}&=-\dfrac{1}{2\,g_{ii}}\,\partial_{i}\,g_{jj}\,\,\, \text{avec}\,\, i \ne j
\end{align}\right.
\end{equation}
Tous les autres symboles $\Gamma^{i}_{jk}$ sont nuls. Dans notre cas, en prenant la matrice du tenseur métrique suivante :
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \sin\theta
\end{pmatrix}
On obtient les symboles non nuls suivants :
\begin{equation}
\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi} = -\sin\theta\cos\theta
\end{equation}
\begin{equation}
\Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi} =\Gamma^{\varphi}_{\varphi\theta}=\cot\theta
\end{equation}
L'expression générale pour les géodésique s'écrit (avec le système de coordonnées curvilignes $(y^{i})$) :
\begin{equation}
\dfrac{\text{d}^2 y^{i}}{\text{d}s^2}+\Gamma^{i}_{jk}\,\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}s}\,\dfrac{\text{d}y^{k}}{\text{d}s}=0
\end{equation}
où $s$ correspond à un paramètre affine, que l'on peut par exemple assimiler au temps propre de l'observateur qui se déplace le long de la géodésique.
Sur une surface sphérique, on obtient les équations suivantes (respectivement pour les variables $\theta$ et $\varphi$) :
\begin{equation}
\left.\begin{align}
\dfrac{\text{d}^2 \theta}{\text{d}s^2}& - \sin\theta\cos\theta \left(\dfrac{\text{d}\varphi}{\text{d}s}\right)^2 =0\\
& \notag \\
\dfrac{\text{d}^2 \varphi}{\text{d}s^2}& + 2\cot\theta\ \dfrac{\text{d}\theta}{\text{d}s}\dfrac{\text{d}\varphi}{ds}=0
\end{align}\right.
\end{equation}
La dérivée covariante d'un vecteur (et plus généralement d'un champ vectoriel) permet de calculer la variation des composantes de ce vecteur le long d'une géodésique, c'est-à-dire le long du plus court chemin qui joint 2 points. En effet, pour comparer 2 vecteurs dans l'espace euclidien classique, nous transportons parallèlement un des 2 vecteurs le long d'une droite afin qu'ils partagent la même origine. Cette notion de transport parallèle peut être étendue aux espaces non-euclidiens. Cette simulation met en évidence, lors du transport parallèle, la modification des composantes curvilignes du vecteur transporté au fur et à mesure du déplacement sur la géodésique choisie; en effet, la base curviligne est elle-même aussi modifiée lors de ce transport : la dérivée covariante traduit le changement de ces composantes.
Voici la définition de la "j-ième" composante de la dérivée covariante d'un champ vectoriel $\vec{V}=v^{j}\vec{e_{j}}=v_{j}\vec{e^{j}}$, notée $(\nabla_{i}\vec{V})_{j}$ (ou encore $\nabla_{i}v^{j}$ mais plus rarement car il peut y avoir une confusion avec la dérivée covariante d'une fonction scalaire qui est assimilée au gradient de cette fonction), avec les coordonnées curvilignes $(y^{i})$ :
\begin{equation}
\left.\begin{align}
(\nabla_{i}\vec{V})_{j}&=\partial_{i}v_{j}-v_{k}\,\Gamma^{k}_{ij}\\
&=\dfrac{\partial v_{j}}{\partial y^{i}}-v_{k}\,\Gamma^{k}_{ij} \notag
\end{align}\right.
\end{equation}
avec $v_{j}$ et $v_{k}$ les composantes covariantes. Pour l'expression avec les composantes contravariantes ($v^{j}$ et $v^{k}$), la "j-ième" composante contravariante $(\nabla_{i}\vec{V})^{j}$ (notée aussi $\nabla_{i}v^{j}$) s'écrit :
\begin{equation}
\left.\begin{align}
(\nabla_{i}\vec{V})^{j}&=\partial_{i}v^{j}+v^{k}\,\Gamma^{j}_{ik}\\
&=\dfrac{\partial v^{j}}{\partial y^{i}}+v^{k}\,\Gamma^{j}_{ik} \notag
\end{align}\right.
\end{equation}
On peut aussi définir ce que l'on appelle la Différentielle Absolue du vecteur transporté. La "j-ième" composante contravariante de cette différentielle, notée $(\text{D}\vec{V})^{j}$ (ou aussi $\text{D}v^{j}$), s'écrit sous la forme :
\begin{equation}
(\text{D}\vec{V})^{j}=\text{D}v^{j}=(\nabla_{i}\vec{V})^{j}\text{d}y^{i}=\nabla_{i}v^{j}\text{d}y^{i}=\text{d}v^{j}+v^{k}\,\Gamma_{ik}^{j}\text{d}y^{i}
\end{equation}
Appliquons cette expression aux composantes $\theta$ et $\varphi$ :
\begin{equation}
\left.\begin{align}
(\text{D}\vec{V})^{\theta}=\text{D}v^{\theta} &= \text{d}v^{\theta} + v^{\varphi}\,\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi}\,\text{d}\varphi\\
&= \text{d}v^{\theta} - v^{\varphi}\,\sin\theta \cos\theta\,\text{d}\varphi \notag\\
&\notag \\
(\text{D}\vec{V})^{\varphi}=\text{D}v^{\varphi} &= \text{d}v^{\varphi} + v^{\varphi}\,\Gamma^{\varphi}_{\varphi\theta}\,\text{d}\theta + v^{\theta}\,\Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi}\,\text{d}\varphi\\
&= \text{d}v^{\varphi} + \cot\theta\,(v^{\varphi}\text{d}\theta+v^{\theta}\text{d}\varphi)\notag
\end{align}\right.
\end{equation}
Si la Dérivée Covariante $(\nabla_{i}\vec{V})^{j}=\nabla_{i}v^{j}$ est nulle, alors la Différentielle Absolue $(\text{D}\vec{V})^{j}=\text{D}v^{j}$ l'est aussi pour chacune des composantes "$j$". Dans ce cas-là, on dit que le vecteur est transporté parallèlement le long de la géodésique et nous généralisons ainsi la notion de champ vectoriel uniforme : quelque soit l'endroit où se trouve l'observateur, celui-ci verra toujours une direction constante (et donc un angle constant) entre le vecteur transporté et la direction de son chemin pris sur la surface courbe. Ceci implique un changement des composantes $v^{j}$ du vecteur :
\begin{equation}
( (\text{D}\vec{V})^{j} = \text{D}v^{j}=0 ) \Rightarrow ( \text{d}v^{j} = -v^{k}\,\Gamma^{j}_{ik}\,\text{d}y^{i} )
\end{equation}
La simulation WebGL ci-dessous permet de reproduire de manière géométrique le transport parallèle d'un vecteur dont les composants initiales sont définies via un menu interactif. On peut aussi choisir, selon la rotation radiale (perpendiculaire au plan tangent) et les coordonnées (longitude,latitude), l'orientation du "grand cercle" (en jaune) sur lequel on va se déplacer.
Le plan tangent au point courant de la géodésique est le plan ombragé, qui forme aussi la base curviligne, elle-même représentée par les vecteurs de couleur rose $\vec{e_\theta}$ (vertical) et $\vec{e_\varphi}$ (horizontal). Dès le moment où l'animation démarre, le vecteur initial en couleur cyan reste fixe dans la base curviligne. Le vecteur en couleur verte représente le vecteur transporté : l'angle entre la géodésique en jaune et ce vecteur vert reste constant (c'est la définition même du transport parallèle). Enfin, le décalage entre le vecteur initial et le vecteur transporté apparaît sous la forme du vecteur de couleur marron.
- Tested on Chrome 66.0 and Firefox 60.0 (both 64 bits)
- Possible overlapping bug or no first view loaded for sphere on Safari 11.0.3
\begin{equation}
\begin{aligned}
\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White} \text{Absolute Differential} &\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White}\,:\,(\text{D}\vec{V})^{i}= \text{d}v^{i}+v^{k}\Gamma_{jk}^{i}\text{d}y^{j}
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\left.\begin{aligned}
\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White} \Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi} &\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White}= -\sin\theta\cos\theta\\
\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White} \Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi} &\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White}= \Gamma^{\varphi}_{\varphi\theta}=\cot\theta\\
\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White} (\text{D}\vec{V})^{\theta} &\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White}= \text{d}v^{\theta} + v^{\varphi}\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi}\,\text{d}\varphi\\
\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White} &\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White}= \text{d}v^{\theta} - v^{\varphi}\sin\theta\,\cos\theta\,\text{d}\varphi\\
\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White} (\text{D}\vec{V})^{\varphi} &\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White}= \text{d}v^{\varphi} + v^{\theta}\Gamma^{\varphi}_{\varphi\theta}\,\text{d}\varphi +
v^{\varphi}\Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi}\,\text{d}\theta\\
\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White} &\definecolor{White}{RGB}{255,255,255}\color{White}= \text{d}v^{\varphi} + \cot\theta\,(v^{\theta}\text{d}\varphi + v^{\varphi}\text{d}\theta)
\end{aligned}\right.
\end{equation}
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