Nous souhaitons ici résoudre numériquement les équations de
Friedmann afin d'obtenir, dans les différentes géométries possibles
de l'Univers, le facteur d'échelle en fonction du temps. Pour cela, on assimile le
contenu de l'Univers à ce que l'on nomme un fluide parfait, c'est-à-dire
un fluide dont les seules propriés intéressantes (du point de vue de
la dynamique de l'Univers) se réduisent à sa densité $\rho$ et
à sa pression $p$. Dans ce cas, le tenseur d'impulsion-énergie prend une
forme simple, et les équations d'Einstein se résument à un
ensemble de 2 équations différentielles (voir plus bas \eqref{eq1} et \eqref{eq2} qui permettent de calculer
$R(t)$ en fonction de $\rho$, $p$, du paramètre de courbure $k$, ainsi que de la constante cosmologique $\Lambda$.
Il est naturel que la densité de matière que
contient l'Univers apparaisse comme un paramètre crucial pour déterminer
son évolution. En effet, l'Univers évolue sous l'effet de son propre
poids : plus sa densité est élevée, plus il exerce d'attraction
gravitationnelles sur lui-même et plus son expansion doit se ralentir.
On peut en généreal décrire un fluide parfait par une équation d'état, reliant sa pression $p$
et sa densité d'énergie $\rho_{e}$; son expression générale est : $p=w\rho_{e}$ avec $w$=0 pour la matière, $w=1/3$ pour le rayonnement et $w=-1$ pour l'énergie noire.
Dans les équations d'Einstein, le terme de densité d'énergie $\rho_{e}$ apparaît sous la forme $\rho c^{2}$ (où $\rho$ est la densité de la composante et $c$ la vitesse
de la lumière). L'application des équations d'Einstein, avec un tenseur d'impulsion-énergie prenant la forme d'un fluide parfait, donne les
équations fondamentales de la cosmologie :
\begin{equation}
\dfrac{R^{''}}{R}=-\dfrac{4\pi G}{3}\big(\rho+\dfrac{3p}{c^{2}}\big)+\dfrac{\Lambda}{3}
\label{eq1}
\end{equation}
et
\begin{equation}
\bigg(\dfrac{R^{'}}{R}\bigg)^{2}=\dfrac{8\pi G \rho}{3}+\dfrac{\Lambda}{3}-\dfrac{k}{R^{2}}
\label{eq2}
\end{equation}
auxquelles on adjoint aussi quelquefois :
\begin{equation}
\dfrac{\text{d}(\rho c^{2} R^{3})}{\text{d}t}=-p\dfrac{\text{d}R^{3}}{\text{d}t}
\label{eq3}
\end{equation}
pouvant être déduites des deux premières. Ces "équations de Friedmann" décrivent la classe générale des
modèles de Friedmann-Lemaître. Elles sont à la base des modèles de big bang et permettent de déterminer la structure de
l'Univers d'après son contenu.
La première de ces équations donne la dérivée seconde du facteur d'échelle, qui exprime
l'accélération ou la décélération de l'expansion. Remarquons que, même avec les hypothèses simplificatrices mentionnées
(homogénéité, fluide parfait), densité et pression ne suffisent pas à déterminer la géométrie et la
dynamique de l'Univers. Il faut connaître également la constante cosmologique dont nous verrons l'influence plus loin dans les résultats.
Nous nous intéressons maintenant aux différentes composantes du
contenu de l'Univers. Elles se distinguent par leurs équations d'états, et
donc par leurs lois de dilution.
Ce que nous appellerons matière en cosmologie, par opposition aux autres
formes d'énergies décrites ci-dessous, se caractérise par
une vitesse d'agitation thermique très faible ($v_{th} \ll c$) et une
pression négligeable; ($p=\rho v_{th}^{2} \ll \rho c^{2}$).
Elle est donc "froide" ou "non relativiste". Cela autorise à négliger
le terme de pression $p$ devant le terme de densité $\rho c^{2}$,
sans commettre une erreur trop importante. Autrement dit, pour la matière, on applique l'approximation
$p=0$. La matière froide se dilue proportionnellement à $R^{-3}$ (cf \eqref{eq3}),
nous pouvons écrire sa densité sous la forme :
Le rayonnement est constitué de photons (ou plus généralement,
de particules sans masse propre), se déplaçant à la vitesse
de la lumière. Sa pression très élevée ne peut être
négligée, et son équation d'équation d'état s'écrit
$p=\rho c^{2}/3$. Nous en connaissons trois composantes possibles :
rayonnement électromagnémagnétique (photons), ondes gravitationnelles,
et neutrinos, s'ils sont dépourvus de masse propre (voir ici).
La contribution des ondes gravitationnelles est aujourd'hui négligeable. L'influence
dynamique du rayonnement éléctromagnétique, omniprésent
dans l'Univers, est aujourd'hui faible, mais elle a été beaucoup
plus importante au début de l'histoire cosmique. Il en est de même
des neutrinos (non massifs). On démontre que le rayonnement se dilue selon :
Il se dilue donc plus rapidement que la matière classique. Nous verrons par la suite le paramètre $\Omega_r^{0}$ qui détermine la contribution de la radiation par rapport à la densité critique.
Les astronomes connaissent les formes répertoriées de la matière, étoiles brillantes (faites de gaz chaud), réunis
sous forme de galaxies, gaz, poussières, planètes, etc. Ils dénombrent les galaxies dans l'Univers. Pour chacune, ils analysent
séparément masse $M$ et luminosité $L$, et établissent une valeur moyenne $< M/L >$ du rapport masse sur luminosité. Par la
suite, le produit de la luminosité d'une galaxie par $< M/L >$ donne sa masse. Finalement, la densité de masse correspondant à
la matière s'écrit donc : $\rho_{galaxies}=N_{galaxies}$ < $M/L$ > <$L$> avec $N_{galaxies}$ le nombre de galaxies contenu dans un volume $dV$. D'après les dernières
estimations, $\rho_{galaxies} \sim 10^{-31} g.cm^{-3}$. Il s'agit de la contribution baryonique visible à la
densité de l'Univers.
Les analyses dynamiques des galaxies ou des amas de galaxies ne sont pas en accord avec ces estimations. L'interprétation la plus simple et la
plus courante de ce désaccord suppose que ces objets contiennent davantage de masse que ce que nous y voyons : à côté de la
masse visible, se trouveraient de grandes quantités de masse cachée (ou invisible) que l'on appelle aussi matière noire. Les contributions
additionnées des masses dynamiques des amas sont estimés à $\Omega^{0}_{m}=0.2-0.3$ (voir la définition de $\Omega^{0}_{m}$ plus bas). Un autre argument conduit à une estimation
du même ordre. Il se fonde sur les calculs de la nucléosynthèse primordiale dans le cadre des modèles de big-bang : leurs résultats
ne sont en accord avec les observations d'éléments légers, que si la contribution $\Omega^{0}_{b}$ des baryons à $\Omega^{0}_{m}$
est de l'ordre $0.01-0.05$.
Matière et rayonnement, ces deux formes d'énergie, sont les archétypes du contenu de l'Univers. Néanmoins, une
troisième forme d'énergie a été récemment évoquée en cosmologie, avec une pression
négative. Selon la théorie quantique des champs, il se pourrait en effet que l'état fondamental associé à
un champ quantique ait exercé une influence dynamique en cosmologie. Il s'agit de ce que l'on appelle, selon un terme assez
malheureux mais frappant, l'énergie du vide. Par vide, on se réfère en fait à l'état fondamental
par rapport auquel on mesure des excitations de champs. La théorie suggère qu'un tel état puisse posséder une
densité d'énergie $\rho_{vide}$, et tout se passe comme si l'on pouvait lui attribuer également une pression
négative $p=-\rho_{vide}$ !
Il est remarquable que la contribution d'une telle énergie du vide soit, dans certains cas, formellement identique à celle d'une
constante cosmologique $\Lambda=8\pi G \rho_{vide}$. Néanmoins, cette analogie n'opère rigoureusement que si l'énergie
du vide est calculée dans un espace-temps sans courbure ni évolution, celui de Minkowski. Cela ne correspond évidemment pas aux
conditions de la cosmologie (par exemple, l'énergie du vide est a priori variable au cours de l'évolution cosmique alors que,
par définition, $\Lambda$ est rigoureusement constante).
Le "paramètre" ou "constante" de Hubble mesure le taux d'expansion actuel :
\begin{equation}
H_{0}=\bigg(\dfrac{R^{'}}{R}\bigg)_{0}
\label{eq6}
\end{equation}
Le paramètre de décélération est défini comme ceci :
\begin{equation}
q_{0}=-\bigg(\dfrac{R^{''}R}{(R^{'})^{2}}\bigg)_{0}
\label{eq7}
\end{equation}
Il mesure le ralentissement ou l'accélération (valeur négative)
de l'expansion. Les indices $0$ se rapportent toujours aux valeurs présentes des grandeurs.
Nous serons amenés à introduire la valeur critique de la densité :
\begin{equation}
\rho_{critique,0}=\dfrac{3 H_{0}^{2}}{8\pi G}
\label{eq8}
\end{equation}
L'ensemble des modèles dominés par la matière (avec $\Lambda=0$) se divise en deux classes selon
que la densité est inférieure ou supérieure à cette valeur. La valeur critique de la densité
jouant le rôle d'une unité naturelle, on définit le paramètre de densité $\Omega^{0}_{m}$ :
Pour une valeur $H_{0}=70\,km/s/Mpc$, la densité $\rho_{critique,0}$ vaut environ $10^{-29}g.cm^{-3}$, soit $\Omega^{0}_{m}=0.04$, ce qui équivaut aussi à $\sim 5 m_{p}/m^{3}$ ($m_{p}$ masse du proton).
On définit pour le rayonnement un paramètre du même type $\Omega^{0}_{r}$ :
Nous voyons que les équations \eqref{eq1} et \eqref{eq2} font intervenir la dérivée seconde et première du facteur d'échelle. Le but est de combiner
ces deux équations afin d'obtenir une équation différentielle du second ordre que l'on mettra sous forme matricielle. Ceci nous permettra
ensuite d'utiliser les solveurs d'ode de Matlab.En introduisant le facteur d'échelle normalisé $y(t)=R(t)/R_{0}$, nous pouvons écrire \eqref{eq1} sous la forme:
\begin{equation}
y^{"}=-y\dfrac{H_{0}^{2}}{2}\bigg(\dfrac{\Omega^{0}_{m}}{y^{3}}+\dfrac{\Omega^{0}_{r}}{y^{4}}-2\Omega^{0}_{\Lambda}\bigg)
\label{eq12}
\end{equation}
et l'équation \eqref{eq2} comme ceci :
\begin{equation}
y=\Omega^{0}_{m}\bigg(\dfrac{y^{'2}}{H_{0}^{2}}-\dfrac{\Omega^{0}_{r}}{y^{2}}-y^{2}\Omega^{0}_{\Lambda}-\Omega^{0}_{k}\bigg)^{-1}
\label{eq13}
\end{equation}
Nous pourrons alors déduire la valeur de $\Omega^{0}_{k}$ en fonction
de la valeur de $\Omega^{0}_{m}$, $\Omega^{0}_{\Lambda}$ et $\Omega^{0}_{r}$ (On tient compte de $\Omega^{0}_{r}$
même si nous sommes aujourd'hui dans l'ère de la matière, voir plus haut).
L'équation suivante sera utile dans la compréhension des résultats, surtout concernant le signe du paramètre de décélération $q_{0}$. D'après \eqref{eq1}, on obtient rapidement :
Ci-dessous le graphique obtenu par le code (la même valeur $\Omega^{0}_{r}\simeq 10^{-4}$ a été utilisée pour les 4 courbes). On distingue :
la courbe noire qui correspond à un Univers de type sphérique ($k=1$). Après une première phase
d'expansion, l'Univers se contracte ("Collapse Model" en anglais). C'est le modèle du "Big Crunch". Les cosmogonies spéculatives lui associent un modèle cyclique expansion/contraction, appelé aussi "Big Bounce".
la courbe verte qui correspond à une géométrie presque euclidienne ($\Omega^{0}_{k}\simeq 0$) avec une constante cosmologique nulle. La densité est exactement égale à la densité critique : ce modèle est appelé modèle d'Einstein - de Sitter. L'expansion est
éternelle tout en décélérant ($q_{0}=0.5$ cf \eqref{eq18}).
la courbe bleue montre une géométrie de type hyperbolique ($k=-1$). L'expansion y est aussi éternelle mais son taux décroît au fil du temps ($q_{0}=0.15$).
la courbe rouge est celle qui correspond le mieux aux observations actuelles : c'est le modèle $\Lambda\text{CDM}$. On retrouve la valeur de
$\Omega^{0}_{m}$ égale à 0.3 et $\Omega^{0}_{\Lambda}$ à 0.7, d'où $q_{0}=-0.55$. D'après \eqref{eq16}, on voit que
$\Omega^{0}_{k}\simeq 0$, la géométrie est donc quasi-euclidienne. L'expansion s'accélère indéfiniment ($q_{0} < 0$), jusqu'à atteindre
une valeur telle que les objets astrophysiques eux-mêmes sont disloqués : c'est le scénario du "Big Rip". Nous pouvons estimer avec cette courbe
l'âge de l'Univers en partant de $y=0$ jusqu'à $y=1$; on obtient une valeur égale environ à 13 Milliards d'années.
Figure 1 : Taille relative de l'Univers en fonction du temps cosmique (1 Gyr = 1 Milliard d'années)
