Exemples de tenseurs euclidiens - Propriétés de changement de base

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Propriétés de changement de base

Tenseur d'ordre deux

Regroupons les propriétés de changement de base des composantes d'un tenseur d'ordre deux. Soit un espace vectoriel euclidien $E_{n}$ , ayant pour bases $(\mathbf{e_{i}})$ et $(\mathbf{e'_{k}})$ liées par les relations :

$\displaystyle (a)\,\,\,\,\mathbf{e_{i}}=A'^{k}_{i}\,\mathbf{e'_{k}}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,\mathbf{e'_{k}}=A^{i}_{k}\,\mathbf{e_{i}}$

(2.27)

On suppose que l'on se donne une suite de $n^{2}$ quantités $t_{ij}$ qui se transforment, lors d'un changement de base de $E_{n}$ , selon les relations suivantes :

$\displaystyle (a)\,\,\,\,\,t_{ij}=(A'^{k}_{i}\,A'^{l}_{j})\,t'_{kl}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,t'_{kl}=A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,t_{ij}$

(2.28)

Par définition, si $n^{2}$ quantités se transforment selon les relations (2.28), elles constituent les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
Lorsque $n^{2}$ quantités $t^{ij}$ se transforment lors d'un changement de base de $E_{n}$ selon les relations suivantes :

$\displaystyle (a)\,\,\,\,t^{ij}=A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,t'^{kl}\,\,\,\,\,\,;(b)\,\,\,\,\,t'^{kl}=A'^{k}_{i}\,A'^{l}_{j}\,t^{ij}$

(2.29)

ces $n^{2}$ quantités constituent, par définition, les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux.

Enfin lorsque $n^{2}$ quantités $t_{i}^{j}$ se transforment lors d'un changement de base de $E_{n}$ selon les relations :

$\displaystyle (a)\,\,\,\,t_{i}^{j}=(A'^{k}_{i}\,A^{j}_{l})\,t'^{l}_{k}\,\,\,\,\,\,;(b)\,\,\,\,\,t'^{l}_{k}=(A^{i}_{k}\,A'^{l}_{j})\,t_{i}^{j}$

(2.30)

ces quantités sont, par définition, les composantes mixtes d'un tenseur d'ordre deux.

Nous allons par la suite pouvoir identifier différents types de composantes d'un tenseur d'ordre deux en mettant en évidence leurs propriétés de changement de base.

Combinaisons linéaires de tenseurs

Combinaisons de produits tensoriels : On peut former des composantes d'autres tenseurs en combinant entre elles les composantes de différents produits tensoriels définis à l'aide des vecteurs d'un même espace vectoriel. Considérons par exemple les composantes contravariantes des produits tensoriels des vecteurs $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ et des vecteurs $\mathbf{w}$ , $\mathbf{z}$ , soit :

$\displaystyle u^{ij}=x^{i}\,y^{j}\,\,\,\,;\,\,\,\,v^{ij}=w^{i}\,z^{j}$

(2.31)

Formons les quantités suivantes :

$\displaystyle t^{ij}=u^{ij}+\lambda\,v^{ij}$

(2.32)

Les $n^{2}$ quantités $t^{ij}$ vérifient également les formules générales de changement de base. On a en effet, en substituant la relation (2.17) de transformation des composantes contravariantes d'un produit tensoriel dans l'expression (2.32) :

$\displaystyle t^{ij}=(A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,u'^{kl})+\lambda\,(A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,v'^{kl})=A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,t'^{kl}$

(2.33)

avec $t'^{kl}=u'^{kl}+\lambda\,v'^{kl}$ .

Les $n^{2}$ quantités $t^{ij}$ , vérifiant la relation de changement de base, constituent donc également des composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux. On verra par la suite que les $t^{ij}$ , s'ils constituent bien les composantes d'un tenseur, ne forment pas nécessairement les composantes d'un produit tensoriel de deux vecteurs.
On vérifierait de même, pour des combinaisons linéaires de composantes covariantes ou mixtes, les autres formules de changement de base. Par suite, toute combinaison linéaire de produits tensoriels de deux vecteurs satisfait aux formules de changement de base des tenseurs d'ordre deux.

Combinaisons de tenseurs - Considérons $n^{2}$ quantités $u_{ij}$ et $n^{2}$ quantités $v_{ij}$ constituant respectivement les composantes covariantes de deux tenseurs distincts formés à partir des vecteurs d'un même espace vectoriel $E_{n}$ . Toute combinaison linéaire de la forme :

$\displaystyle t_{ij}=u_{ij}+\lambda\,v_{ij}$

(2.34)

vérifie également les formules de changement de base (2.28), la démonstration étant la même que pour les produits tensoriels. Il en est de même pour des composantes contravariantes et mixtes. On peut également combiner linéairement plus de deux tenseurs et on obtiendra toujours des combinaisons de composantes qui vérifient les formules de changement de base.
Par suite, toute combinaison linéaire de composantes de tenseurs donne des composantes de nouveaux tenseurs.

Tenseur d'ordre trois

Produit tensoriel de plusieurs vecteurs : On peut utiliser un nombre quelconque de vecteurs pour réaliser des produits tensoriels. Considérons par exemple trois vecteurs de $E_{n}$ : $\mathbf{x}=x^{i}\,\mathbf{e_{i}}$ , $\mathbf{y}=y^{j}\,\mathbf{e_{j}}$ , $\mathbf{z}=z^{k}\,\mathbf{e_{k}}$ et effectuons tous les produits entre leurs composantes contravariantes tels que :

$\displaystyle u^{ijk}=x^{i}\,y^{j}\,z^{k}$

(2.35)

Ces $n^{3}$ quantités constituent les composantes contravariantes du produit tensoriel des vecteurs $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ et $\mathbf{z}$ . Ce produit tensoriel est un tenseur d'ordre trois. Après un changement de base de $E_{n}$ , on obtient les relations suivantes entre les anciennes composantes contravariantes $u^{ijk}$ et les nouvelles $u'^{lmp}$ :

$\displaystyle u^{ijk}=A^{i}_{l}\,A^{j}_{m}\,A^{k}_{p}\,u'^{lmp}$

(2.36)

avec $u'^{lmp}=x'^{l}\,y'^{m}\,z'^{p}$ . Cette formule est obtenue par des substitutions analogues à celles effectuées précédemment pour les produits tensoriels de deux vecteurs. Elle généralise la formule (2.29)(a).
On peut calculer de même les composantes covariantes $u_{ijk}$ du produit tensoriel des vecteurs $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ , $\mathbf{z}$ , à partir de leurs composantes covariantes, soit :

$\displaystyle u_{ijk}=x_{i}\,y_{j}\,z_{k}$

(2.37)

On obtient la formule de changement de base suivante pour les composantes covariantes :

$\displaystyle u_{ijk}=A'^{l}_{i}\,A'^{m}_{j}\,A'^{p}_{k}\,u'_{lmp}$

(2.38)

formule qui généralise la relation (2.28)(a).
Enfin, on obtient un ensemble de diverses composantes mixtes en combinant les composantes covariantes et contravariantes des vecteurs $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ , $\mathbf{z}$ . On peut former par exemple les $n^{3}$ quantités :

$\displaystyle u^{i}_{jk}=x^{i}\,y_{j}\,z_{k}$

(2.39)

La formule de changement de base est donnée, ainsi qu'on le vérifie en effectuant les substitutions données par (2.20), par :

$\displaystyle u^{i}_{jk}=A^{i}_{l}\,A'^{m}_{j}\,A'^{p}_{k}\,u'^{l}_{mp}$

(2.40)

Changement de base des tenseurs d'ordre trois - Prenons l'exemple des composantes mixtes $t^{i}_{jk}$ d'un tenseur d'ordre trois. Si l'on se donne $n^{3}$ quantités notées $t^{i}_{jk}$ associées à un espace vectoriel $E_{n}$ , qui se transforment lors d'un changement de base de $E_{n}$ selon les relations suivantes :

$\displaystyle (a)\,\,\,\,u^{i}_{jk}=A^{i}_{l}\,A'^{m}_{j}\,A'^{p}_{k}\,u'^{l}_{... ...,\,\,\,\,;(b)\,\,\,\,\,u'^{l}_{mp}=A'^{l}_{i}\,A^{j}_{m}\,A^{k}_{p}\,u^{i}_{jk}$

(2.41)

ces $n^{3}$ quantités constituent, par définition, les composantes mixtes d'un tenseur d'ordre trois. Les formules (2.36) et (2.38) servent de même à caractériser respectivement les composantes contravariantes et covariantes des tenseurs d'ordre trois. Ainsi qu'on le voit, ces formules généralisent celles qui servent à définir les composantes des tenseurs d'ordre deux.
Les relations précédentes font apparaître la règle générale des formules de changement de base des composantes d'un tenseur. Selon la variance des indices de ces composantes, on utilisera les quantités ou qui définissent le changement de base des vecteurs de $E_{n}$ .
On verra par la suite que les différentes composantes d'un tenseur euclidien se calculent les unes en fonctions des autres et constituent les différentes décompositions d'un tenseur sur des bases différentes.

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