Table des matières

• Les vecteurs
  • Conventions d'écriture
    • Notation des vecteurs et de leurs composantes
    • Convention de sommation
    • Sommation sur plusieurs indices
    • Symbole de Kronecker
    • Symbole d'antisymétrie
  • Généralisation de la notion de vecteur
    • Exemple de vecteurs
    • Propriétés des opérations sur les vecteurs
    • Autres exemples de vecteurs
    • Définition générale des vecteurs
    • Structure d'un ensemble
  • Bases d'un espace vectoriel
    • Exemples de vecteurs indépendants et dépendants
    • Vecteurs de base
    • Décomposition d'un vecteur sur une base
    • Changement de base
  • Produit scalaire
    • Exemple de produits scalaires
    • Définition du produit scalaire
    • Expression générale du produit scalaire
    • Vecteurs orthogonaux
    • Bases orthogonales d'un espace vectoriel pré-euclidien
    • Norme d'un vecteur
  • Espace vectoriel euclidien
    • Définitions
    • Bases orthonormées
    • Composantes contravariantes et covariantes
    • Expression du produit scalaire et de la norme
    • Changement de base
    • Bases réciproques
    • Décomposition d'un vecteur sur les bases réciproques
    • Produits scalaires des vecteurs de base
  • Exercices résolus
  
  
• Exemples de tenseurs euclidiens
  • Changement de base
    • Composantes covariantes du tenseur fondamental
    • Produit tensoriel de deux vecteurs
  • Propriétés de changement de base
    • Tenseur d'ordre deux
    • Combinaisons linéaires de tenseurs
    • Tenseur d'ordre trois
  • Exemples de tenseurs en Physique
    • Tenseur d'inertie
    • Tenseur vitesse de rotation instantanée d'un solide
    • Tenseurs des propriétés des milieux anisotropes
  • Exercices résolus
  
  
• Algèbre tensorielle
  • Tenseur d'ordre deux
    • Introduction
    • Exemple de tenseur : produit tensoriel de triplets de nombres
    • Propriétés du produit tensoriel
    • Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels
    • Expression analytique du produit tensoriel de deux vecteurs
    • Éléments d'un espace produit tensoriel
    • Produit tensoriel de deux espaces vectoriels identiques
  • Tenseurs d'ordre quelconque
    • Produit tensoriel de plusieurs vecteurs
    • Produit tensoriel d'espaces identiques
    • Classification des tenseurs
  • Produit scalaire
    • Produit scalaire d'un produit tensoriel par un vecteur de base
    • Produit scalaire d'un tenseur par un vecteur de base
    • Produit scalaire de deux tenseurs de même ordre
    • Composantes d'un tenseur pré-euclidien
    • Expression du produit scalaire
    • Tenseurs euclidiens d'ordre quelconque
  • Bases d'un espace produit tensoriel
    • Bases réciproques
    • Composantes des tenseurs pré-euclidiens
    • Tenseurs d'ordre quelconque
    • Changement de base
    • Critère de tensorialité
  • Opérations sur les tenseurs
    • Addition de tenseurs du même ordre
    • Multiplication tensorielle
    • Contraction des indices
    • Multiplication contractée
    • Critères de tensorialité
  • Tenseurs particuliers
    • Tenseur symétrique
    • Quadrique représentative d'un tenseur symétrique
    • Le tenseur fondamental
    • Tenseur antisymétrique
    • Produit extérieur de deux vecteurs
  • Groupes ponctuels de symétrie
    • Symétrie d'un cristal et de ses propriétés physiques
    • Effet de la symétrie sur les tenseurs
  • Exercices résolus
  
  
• Espaces ponctuels
  • Espace ponctuel pré-euclidien
    • Exemple d'espace ponctuel
    • Définition d'un espace ponctuel
    • Repères d'un espace ponctuel pré-euclidien
    • Distance entre deux points
    • Dérivée d'un vecteur
    • Notation des dérivées
  • Coordonnées curvilignes
    • Systèmes de coordonnées
    • Coordonnées rectilignes
    • Coordonnées sphériques
    • Coordonnées curvilignes
  • Repère naturel
    • Définitions
    • Repère naturel en coordonnées sphériques
    • Changement de coordonnées curvilignes
    • Élément linéaire d'un espace ponctuel
  • Exercices résolus
  
  
• Analyse tensorielle
  • Symboles de Christoffel
    • Tenseurs sur un espace ponctuel
    • Problèmes fondamentaux de l'analyse tensorielle
    • Symboles de Christoffel en coordonnées sphériques
    • Définition des symboles de Christoffel
    • Détermination des symboles de Christoffel
    • Changement de base
    • Vecteurs réciproques
    • Équation des géodésiques
  • Dérivée covariante
    • Transport parallèle
    • Dérivée covariante d'un vecteur
    • Dérivée covariante d'un tenseur
    • Propriétés de la dérivée covariante d'un tenseur
    • Dérivée covariante seconde d'un vecteur
  • Différentielle absolue
    • Différentielle absolue d'un vecteur
    • Dérivée absolue le long d'une courbe
    • Différentielle absolue d'un tenseur
    • Théorème de Ricci
    • Symboles de Christoffel contractés
  • Opérateurs différentiels
    • Vecteur gradient
    • Rotationnel d'un champ de vecteurs
    • Divergence d'un champ de vecteurs
    • Laplacien d'un champ de scalaires
  • Exercices résolus
  
  
• Espaces de Riemann
  • Exemples d'espace de Riemann
    • Surfaces à deux dimensions
    • Disque tournant
    • Espace de configuration
  • Métrique riemannienne
    • Notion de variété
    • Définition des espaces de Riemann
    • Métrique euclidienne et riemannienne
    • Conditions nécessaires pour qu'une métrique soit euclidienne
  • Propriétés géométriques
    • Métrique euclidienne tangente en un point
    • Propriétés géométriques déduites des métriques euclidiennes tangentes
  • Propriétés différentielles
    • Métrique euclidienne osculatrice
    • Espace euclidien osculateur
    • Différentielle absolue et dérivée covariante des tenseurs
    • Transport parallèle
    • Géodésiques d'un espace de Riemann
  • Déplacement le long d'une courbe
    • Développement d'une courbe
    • Déplacement associé à un cycle
    • Expression du déplacement associé à un cycle
  • Tenseur de Riemann-Christoffel
    • Détermination du tenseur de Riemann-Christoffel
    • Composantes covariantes
    • Système de coordonnées normales
    • Propriétés de symétrie
    • Première identité de Bianchi
    • Composantes indépendantes
  • Courbure Riemannienne
    • Le tenseur de rotation en fonction du tenseur de Riemann-Christoffel
    • Courbure riemannienne
    • Tenseur de Ricci et courbure scalaire
    • Seconde identité de Bianchi
    • Tenseur d'Einstein
  • Exercices résolus