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Nombre de propriétés physiques des cristaux, représentées par des
tenseurs, ont des éléments de symétrie qui doivent inclure ceux de leur structure
cristalline. La connaissance des éléments de symétrie des cristaux permettra donc de
déterminer la forme générale des tenseurs de la physique cristalline. Nous allons
donner un aperçu de ce problème mettant en oeuvre géométrie et théorie des
tenseurs.
Tous les cristaux sont isotropes pour quelques-unes de leurs propriétés, la masse
volumique par exemple, mais en général la plupart des propriétés varieront avec la
direction dans laquelle elles sont mesurées et elles seront représentées par des
tenseurs. Un postulat fondamental relie la symétrie d'un cristal à la symétrie de
ses propriétés physiques. Ce postulat est appelé le principe de Neumann et on
peut l'énoncer ainsi :
Les éléments de symétrie de toute propriété physique d'un cristal
doivent comporter, au moins, tous les éléments de symétrie du groupe ponctuel de
symétrie de ce cristal.
Connaissant les opérations de symétrie du groupe d'un cristal donné, on peut les
utiliser pour déterminer l'expression générale du tenseur qui traduit une certaine
propriété physique. Pour cela, on applique les opérations de symétrie aux
équations qui définissent le tenseur : puisque ces opérations font coïncider le
cristal avec lui-même, elles doivent laisser invariantes ces équations. Voyons un
exemple.
Axe binaire de symétrie - Considérons un cristal qui possède un axe
binaire de symétrie, noté  , c'est-à-dire tel qu'une rotation de  amène
le cristal en coïncidence avec lui-même. Étudions, dans le système de base
orthonormée, l'expression d'un tenseur d'ordre deux défini par les équations :
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(3.164) |
où  et  sont les composantes de deux vecteurs représentant des grandeurs
physiques. Faisons coïncider l'axe binaire avec la direction des composantes
 et  . Lors d'une rotation , les composantes
 et
 changent de signe alors que et restent invariantes. Les
équations (3.164) deviennent donc après rotation d'un angle :
Supposons que les composantes  puissent avoir des valeurs arbitraires, ce que l'on
peut réaliser si le vecteur
 est une grandeur physique appliquée de
l'extérieur au cristal (un gradient de température par exemple). Les équations
(3.164) devant être invariantes vis-à-vis de la rotation , leur
comparaison avec (3.165) montre qu'on doit avoir :
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(3.166) |
Les tenseurs d'ordre deux représentant des propriétés physiques des cristaux sont
généralement symétriques ; supposons qu'il en soit ainsi, soit
 . La matrice du tenseur peut finalement s'écrire sous la forme
:
![$\displaystyle [\alpha_{ij}]=\begin{bmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{12}&0 \\ \alpha_{21}&\alpha_{22}&0 \\ 0&0&\alpha_{33} \end{bmatrix}$](img1109.gif) |
(3.167) |
Le tenseur symétrique, satisfaisant à la propriété de symétrie du cristal,
possède cinq composantes non nulles dont quatre sont indépendantes :
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(3.168) |
Nombre de composantes d'un tenseur - La théorie des groupes permet de
calculer aisément le nombre de composantes indépendantes non nulles d'un tenseur
associé à une propriété physique d'un cristal. Ce nombre est égal au nombre de
fois que la représentation totalement symétrique du groupe de symétrie apparaît
dans la représentation tensorielle de ce groupe. On peut ainsi déterminer a priori le
nombre de composantes indépendantes non nulles des tenseurs de tous les ordres pour les
32 classes cristallines. Nous renvoyons le lecteur à la théorie des groupes pour
l'étude des diverses applications.
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