Algèbre tensorielle - Exercices résolus

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Exercices résolus

Exercice 3.1

Soit { $\mathbf{e_{1}}$ , $\mathbf{e_{2}}$ } une base d'un espace vectoriel $E_{2}$ et soient deux vecteurs de $E_{2}$ :

$\displaystyle \mathbf{X}=2\,\mathbf{e_{1}}+4\,\mathbf{e_{2}}\,\,\,\,;\,\,\,\,\mathbf{Y}=5\,\mathbf{e_{1}}+3\,\mathbf{e_{2}}$

On note $\mathbf{e_{i}}\,\otimes\,\mathbf{e_{j}}$ les vecteurs de base d'un espace $E_{4}=E_{2}\,\otimes\,E_{2}$ . Déterminer l'expression du produit tensoriel $\mathbf{X}\,\otimes\,\mathbf{y}$ .
Le tenseur suivant :

$\displaystyle \mathbf{U}=11\,\mathbf{e_{1}}\,\otimes\,\mathbf{e_{1}}+8\,\mathbf... ...hbf{e_{2}}\,\otimes\,\mathbf{e_{1}}+12\,\mathbf{e_{2}}\,\otimes\,\mathbf{e_{2}}$

est-il le produit tensoriel de deux vecteurs de $E_{2}$ ?
Montrer que le tenseur $\mathbf{U}$ est la somme du produit tensoriel $\mathbf{X}\,\otimes\,\mathbf{Y}$ et d'un autre tenseur $\mathbf{W}$ que l'on déterminera. Ce dernier est-il un produit tensoriel et lequel ?

Solutions

La propriété de distributivité du produit tensoriel par rapport à l'addition vectorielle nous donne :

$\displaystyle \mathbf{X}\,\otimes\,\mathbf{Y}=(2\,\mathbf{e_{1}}+4\,\mathbf{e_{2}})\,\otimes\,(5\,\mathbf{e_{1}}+3\,\mathbf{e_{2}})$

$\displaystyle =2\,\mathbf{e_{1}}\,\otimes\,5\,\mathbf{e_{1}}+2\,\mathbf{e_{1}}\... ..._{2}}\,\otimes\,5\,\mathbf{e_{1}}+4\,\mathbf{e_{2}}\,\otimes\,3\,\mathbf{e_{2}}$

L'associativité du produit tensoriel par rapport à la multiplication par un scalaire nous donne :

$\displaystyle \mathbf{X}\,\otimes\,\mathbf{Y}=10\,\mathbf{e_{1}}\,\otimes\,\mat... ...hbf{e_{2}}\,\otimes\,\mathbf{e_{1}}+12\,\mathbf{e_{2}}\,\otimes\,\mathbf{e_{2}}$
Notons $\mathbf{U}$ le tenseur donné :

$\displaystyle \mathbf{U}=11\,\mathbf{e_{1}}\,\otimes\,\mathbf{e_{1}}+8\,\mathbf... ...hbf{e_{2}}\,\otimes\,\mathbf{e_{1}}+12\,\mathbf{e_{2}}\,\otimes\,\mathbf{e_{2}}$

Développons cette expression et identifions au tenseur $\mathbf{U}$ donné ; il vient pour les composantes :

$\displaystyle x^{1}\,y^{1}=11\,\,\,\,;\,\,\,\,x^{1}\,y^{2}=8\,\,\,\,;\,\,\,\,x^{2}\,y^{1}=20\,\,\,\,;\,\,\,\,x^{2}\,y^{2}=12$

Le rapport entre les composantes nous donne : $\dfrac{y^{1}}{y^{2}}=\dfrac{11}{8}$ et $\dfrac{y^{1}}{y^{2}}=\dfrac{20}{12}$

Ces valeurs étant différentes, le tenseur $\mathbf{U}$ ne peut pas être le produit tensoriel de deux vecteurs.
Le tenseur $\mathbf{W}$ est égal à : $\mathbf{W}=\mathbf{U}-\mathbf{X}\,\otimes\,\mathbf{Y}$ , d'où : $\mathbf{W}=\mathbf{e_{1}}\,\otimes\,\mathbf{e_{1}}+2\,\mathbf{e_{1}}\,\otimes\,\mathbf{e_{2}}$ .

Si l'on cherche $\mathbf{W}$ sous forme d'un produit tensoriel, $\mathbf{W}=v^{i}\,u^{j}\,\mathbf{e_{i}}\,\otimes\,\mathbf{e_{j}}$ , on obtient par identification :

$\displaystyle v^{1}\,u^{1}=1\,\,\,\,;\,\,\,\,v^{1}\,u^{2}=2\,\,\,\,;\,\,\,\,v^{2}\,u^{1}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,v^{2}\,u^{2}=0$

Puisque $u^{1}$ et $u^{2}$ ne peuvent être nuls, selon les premières égalités, on a $v^{2}$ =0. Il reste deux équations pour trois inconnues, d'où une certaine indétermination. Prenons $v^{1}=1$ , d'où $u^{1}=1$ et $u^{2}=2$ ; on obtient ainsi le produit tensoriel :

$\displaystyle \mathbf{W}=\mathbf{e_{1}}\,\otimes\,(\mathbf{e_{1}}+2\,\mathbf{e_{2}})$

Exercice 3.2

Les composantes mixtes $t^{i}_{jk}$ d'un tenseur $\mathbf{T}$ , appartenant à l'espace produit tensoriel $E^{(3)}_{2}$ , sont les suivantes :

$\displaystyle t^{1}_{11}=0\,\,,\,\,t^{1}_{12}=2\,\,,\,\,t^{1}_{21}=-1\,\,,\,\,t... ...\,t^{2}_{11}=1\,\,,\,\,t^{2}_{12}=-1\,\,,\,\,t^{2}_{21}=0\,\,,\,\,t^{2}_{22}=-2$

Calculer les composantes contractées $u_{k}=t^{i}_{ik}$ du tenseur $\mathbf{T}$ . Écrire l'expression du tenseur $\mathbf{U}$ de composantes $u_{k}$ .
On se donne une base { $\mathbf{e_{i}}$ } de $E_{2}$ dans laquelle le tenseur fondamental $g_{ij}$ a pour matrice :

$\displaystyle [g_{ij}]=\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12} \\ g_{21}&g_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-3 \\ -3&1 \end{bmatrix}$

Déterminer les composantes covariantes $t_{ijk}$ du tenseur $\mathbf{T}$ .
Déterminer les composantes contravariantes $g^{ij}$ du tenseur fondamental.
Calculer les composantes mixtes $t^{ij}_{k}$ du tenseur $\mathbf{T}$ .

Solutions

Les composantes contractées sont : $u_{k}=t^{i}_{ik}=t^{1}_{1k}+t^{2}_{2k}$ soit :

$\displaystyle u_{1}=t^{1}_{11}+t^{2}_{21}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,u_{2}=t^{1}_{12}+t^{2}_{22}=0$

Le tenseur $\mathbf{U}$ de composantes $u_{k}$ est le vecteur nul : $\mathbf{U}=\mathbf{0}$ .
Les composantes covariantes sont : $t_{ijk}=g_{li}\,t^{l}_{jk}$ , d'où :

$\displaystyle t_{111}=g_{11}\,t^{1}_{11}+g_{21}\,t^{2}_{11}=-3\,\,\,\,;\,\,\,\,... ...,\,\,\,;\,\,\,\,t_{121}=-2\,\,\,\,;\,\,\,\,t_{122}=12\,\,\,\,;\,\,\,\,t_{211}=1$

$\displaystyle t_{212}=-7\,\,\,\,;\,\,\,\,t_{221}=3\,\,\,\,;\,\,\,\,t_{222}=-11$
Calcul des composantes contravariantes $g^{ij}$ du tenseur fondamental. La formule (1.102) nous donne :

$\displaystyle g_{ik}\,g^{kj}=\delta_{ij}\,\,\,\,$ avec $\displaystyle \,\,\,\,g^{ij}=g^{ji}$

On obtient trois équations qui nous donnent :

$\displaystyle g^{11}=-\dfrac{1}{7}\,\,\,;\,\,\,g^{21}=g^{12}=-\dfrac{3}{7}\,\,\,;\,\,\,g^{22}=-\dfrac{2}{7}$
Les composantes mixtes $t^{ij}_{k}$ du tenseur $\mathbf{T}$ ont pour expression :

$\displaystyle t^{ij}_{k}=g^{lj}\,t^{i}_{lk}$

d'où :

$\displaystyle t^{11}_{1}=g^{11}\,t^{1}_{11}+g^{21}\,t^{1}_{21}=\dfrac{3}{7}\,\,... ...,\,\,\,t^{11}_{2}=-\dfrac{11}{7}\,\,\,\,;\,\,\,\,t^{12}_{1}=\dfrac{2}{7}\,\,\,;$ etc $\displaystyle .$

Exercice 3.3

En utilisant le critère général de tensorialité, montrer que, pour à :

Les $n^{2}$ quantités $g_{ij}=\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}$ constituent les composantes covariantes d'un tenseur.
Les $n^{2}$ quantités $\delta_{i}^{j}$ constituent les composantes mixtes d'un tenseur.

Solutions

Formons le produit tensoriel des quantités $g_{ij}$ avec les composantes contravariantes $v^{k}$ d'un tenseur $\mathbf{V}$ d'ordre un ; on obtient :

$\displaystyle g_{ij}\,v^{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,i,j,k=1\,\,\,$ à $\displaystyle \,\,n$

La contraction sur les indices et nous donne l'expression des composantes covariantes du tenseur $\mathbf{V}$ , soit :

$\displaystyle g_{ij}\,v^{j}=v_{i}$

On obtient ainsi un tenseur d'ordre un et, selon le critère général de tensorialité, les $g_{ij}$ sont donc les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux.
Le produit tensoriel des quantités $\delta_{i}^{j}$ par les composantes covariantes $v_{k}$ d'un tenseur d'ordre un, nous donne les qantités : $\delta^{i}_{j}\,v_{k}\,\,\,;i,j,k=1\,\,$ à $\,\,n$ .

La contraction sur les indices et donne les quantités :

$\displaystyle \delta_{i}^{j}\,v_{j}=v_{i}$

Les quantités $v_{i}$ étant les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre un, les quantités $\delta_{i}^{j}$ sont, selon le critère général de tensorialité, les composantes mixtes d'un tenseur d'ordre deux.

Notons $h_{i}$ , les quantités de chaleur qui traversent l'unité d'aire d'un matériau durant l'unité de temps, dans des directions respectivement normales aux axes $0x_{i}$ . Cette chaleur s'écoule sous l'influence d'un gradient de température . Les quatités $h_{i}$ forment les composantes d'un vecteur noté $\mathbf{h}$ . Dans un matériau anisotrope, la conduction thermique obéit à la loi de Fourier :

$\displaystyle h_{i}=-k_{ij}\,\dfrac{\partial\,T}{\partial\,x_{j}}$

(3.169)

Démontrer que les coefficients $k_{ij}$ sont les composantes d'un tenseur appelé tenseur de conductivité thermique.
En régime permanent, l'écoulement de la chaleur à travers un matériau est conservatif, c'est-à-dire qu'on a :

div $\displaystyle \,\mathbf{h}=0$ (3.170)

Déterminer l'équation donnant la distribution des températures à l'intérieur d'un matériau anisotrope. On supposera que les coefficients $k_{ij}$ sont des constantes.
Déterminer l'expression de l'équation obtenue à la question (2) dans le système d'axes principaux du tenseur $k_{ij}$ .
Trouver un changement de variables qui permet de mettre l'équation obtenue à la question précédente sous forme d'une équation de Laplace :

$\displaystyle (k_{1}\,k_{2}\,k_{3})^{1/3}\,\Delta\,T=0$ (3.171)

où les $k_{i}$ sont les composantes non nulles du tenseur dans son système d'axes principaux.

Solutions

Les composantes du vecteur $\mathbf{grad}$ qui figurent dans l'équation (3.169) forment un produit contracté avec les quantités $k_{ij}$ pour donner les composantes d'un vecteur. Selon le critère général de tensorialité, les coefficients $k_{ij}$ forment donc les composantes d'un tenseur d'ordre deux.
Reportons l'expression de $h_{i}$ donné par (3.169) dans l'équation de conservation (3.170) qu'on peut écrire sous forme indicielle :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,h_{i}}{\partial\,x_{i}}=0$ (3.172)

$\displaystyle \dfrac{\partial}{\partial\,x_{i}}\bigg(-k_{ij}\,\dfrac{\partial\,T}{\partial\,x_{j}}\bigg)=0$ (3.173)

C'est l'équation des distributions des température en régime stationnaire. En général, les $k_{ij}$ varient très faiblement dans un intervalle de température relativement important et on peut alors écrire l'équation (3.173) sous la forme :

$\displaystyle k_{ij}\,\dfrac{\partial^{2}\,T}{\partial\,x_{i}\,\partial\,x_{j}}=0$ (3.174)
Dans un système d'axes principaux, le tenseur de conductivité thermique prend la forme : $k_{ij}=0$ si $i\,\neq\,j$ , $k_{1}=k_{11}$ , $k_{2}=k_{22}$ , $k_{3}=k_{33}$ . L'équation (3.174) se réduit alors à :

$\displaystyle k_{1}\,\dfrac{\partial^{2}\,T}{\partial\,x_{1}^{2}}+k_{2}\,\dfrac... ...\,T}{\partial\,x_{2}^{2}}+k_{3}\,\dfrac{\partial^{2}\,T}{\partial\,x_{3}^{2}}=0$ (3.175)
Le changement de variable suivant :

$\displaystyle x_{1}=\dfrac{k_{1}^{1/2}}{(k_{1}\,k_{2}\,k_{3})^{1/6}}\,X_{1}\,\,... ...}}\,X_{2}\,\,;\,\,x_{3}=\dfrac{k_{3}^{1/2}}{(k_{1}\,k_{2}\,k_{3})^{1/6}}\,X_{3}$ (3.176)

transforme l'équation (3.175) sous la forme :

$\displaystyle (k_{1}\,k_{2}\,k_{3})^{1/3}\,\bigg(\dfrac{\partial^{2}\,T}{\parti... ...}\,T}{\partial\,X_{2}^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\,T}{\partial\,X_{3}^{2}}\bigg)=0$ (3.177)

On obtient une équation de Laplace correspondant à un écoulement dans un milieu isotrope de conductivité $(k_{1}\,k_{2}\,k_{3})^{1/3}$ . On peut ainsi résoudre plus aisément l'équation (3.175) et obtenir ensuite la distribution des températures dans un milieu anisotrope.

Exercice 3.5

Soit $T_{ik}$ un tenseur du second ordre. On se propose de trouver tous les vecteurs $\mathbf{A}$ , de composantes $A_{k}\,\,\,k=1,2,3$ , qui ne changent pas d'orientation lorsqu'on effectue leur produit contracté avec le tenseur $T_{ik}$ , c'est-à-dire tous les vecteurs tels que :

$\displaystyle T_{ik}\,A_{k}=\lambda\,A_{i}$

(3.178)

où $\lambda$ est un scalaire quelconque. De tels vecteurs, s'ils existent, sont appelés les vecteurs propres du tenseur et leurs directions sont les directions principales de $T_{ik}$ . Les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation (3.178) a des solutions s'appellent les valeurs propres du tenseur ; ce sont les valeurs des composantes $T_{ik}$ dans le système de coordonnées déterminé par les directions principales.

A titre d'exercice, nous allons déterminer les vecteurs et valeurs propres d'un tenseur $T_{ik}$ pour un système physique à deux dimensions. C'est le cas, par exemple, du tenseur d'inertie d'une ou plusieurs particules se mouvant dans un plan. Le tenseur possède ainsi quatre composantes :

$\displaystyle T_{11}\,T_{12}\,T_{21}\,T_{22}$

(3.179)

Supposons de plus que le tenseur soit symétrique : $T_{12}=T_{21}$ , afin de simpifier les calculs.

Écrire de manière développée les équations (3.178).
Déterminer les valeurs propres du tenseur.
Si $T_{12}=0$ , les axes initiaux sont précisément les axes principaux. On suppose par la suite que $T_{12}\,\neq\,0$ . Déterminer les pentes des axes principaux portant les vecteurs propres.
Soient $\varphi_{1}$ et $\varphi_{2}$ les angles respectifs entre l'axe initial $Ox_{1}$ et les axes principaux du tenseur $T_{ik}$ . Calculer tan $\varphi_{1}$ et tan $\varphi_{2}$ et montrer que les axes principaux sont orthogonaux entre eux.
Quelles sont les valeurs des composantes des vecteurs $\mathbf{A}$ dans le système d'axes principaux du tenseur ?
Déterminer les valeurs $T'_{ik}$ des composantes du tenseur dans son système d'axes principaux.
Déterminer la courbe représentée par l'équation :

$\displaystyle T'_{11}\,(x'_{1})^{2}+T'_{22}\,(x'_{2})^{2}=1$ (3.180)

dans un système de coordonnées $x'_{1}$ , $x'_{2}$ , correspondant aux axes principaux.
Démontrer que les grandeurs $C_{1}=T_{11}+T_{22}$ et $C_{2}=T_{11}\,T_{22}-T_{12}^{2}$ sont des invariants pour tout changement de système d'axes.
Donner une interprétation géométrique de $C_{2}$ .

Solutions

Si le vecteur $\mathbf{A}$ est porté par l'un des axes principaux du tenseur $T_{ik}$ , alors ses composantes $A_{j}$ doivent vérifier les équations suivantes :

$\displaystyle T_{11}\,A_{1}+T_{12}\,A_{2}=\lambda\,A_{1}$

$\displaystyle T_{21}\,A_{1}+T_{22}\,A_{2}=\lambda\,A_{2}$ (3.181)
Le système d'équations (3.181) possède une solution différente de zéro si et seulement si le déterminant du système est nul, soit :

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{cc} T_{11}-\lambda & T_{12} \\ \\ T_{12} & T_{22}-\lambda \\ \end{array} \right \vert =0$ (3.182)

Le développement du déterminant conduit à l'équation :

$\displaystyle \lambda^{2}-\lambda\,(T_{11}-T_{22})+(T_{11}\,T_{22}-T_{12}^{2})=0$ (3.183)

dont les solutions sont les suivantes :

$\displaystyle \lambda\,\pm\,=\dfrac{T_{11}+T_{22}}{2}\,\pm\,\sqrt{\bigg(\dfrac{T_{11}-T_{22}}{2}\bigg)^{2}+T_{12}^{2}}$ (3.184)

Les valeurs $\lambda_{+}$ et $\lambda_{-}$ sont les valeurs propres du tenseur.
Posons $\lambda_{+}=\lambda_{1}$ et $\lambda_{-}=\lambda_{2}$ ; Si $T_{12}\,\neq\,0$ , alors $\lambda_{1}\,\neq\,\lambda_{2}$ . On a donc deux axes principaux distincts déterminés par les vecteurs notés $\mathbf{A}^{(1)}$ et $\mathbf{A}^{(2)}$ et correspondent respectivement à $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ . Les équations (3.181) permettent d'obtenir les pentes des axes principaux :

tan $\displaystyle \,\varphi_{1}=$ $\displaystyle \dfrac{A_{2}^{(1)}}{A_{1}^{(1)}}=\dfrac{\lambda_{1}-T_{11}}{T_{12}}=\dfrac{T_{12}}{\lambda_{1}-T_{22}}$ (3.185)

tan $\displaystyle \,\varphi_{2}=$ $\displaystyle \dfrac{A_{2}^{(2)}}{A_{1}^{(2)}}=\dfrac{\lambda_{2}-T_{11}}{T_{12}}=\dfrac{T_{12}}{\lambda_{2}-T_{22}}$ (3.186)

Les angles $\varphi_{1}$ et $\varphi_{2}$ sont respectivement les angles entre l'axe $Ox_{1}$ et les axes principaux du tenseur $T_{ik}$ .
Substituant les valeurs $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ données par (3.184) dans les expressions (3.185) et (3.186), on obtient :

tan $\displaystyle \,2\,\varphi_{1}=\dfrac{2\,\text{tan}\,\varphi_{1}}{1-\text{tan}^{2}\,\varphi_{1}}=\dfrac{2\,T_{12}}{T_{11}-T_{22}}=\text{tan}\,2\,\varphi_{2}$ (3.187)

En conséquence :

$\displaystyle \varphi_{1}=\varphi_{2}+\dfrac{\pi}{2}$ (3.188)

Les axes principaux sont orthogonaux entre eux.
Les vecteurs $\mathbf{A}^{(1)}$ et $\mathbf{A}^{(2)}$ étant portés par les axes principaux, leurs composantes, dans ce système d'axes, sont tels que :

$\displaystyle A'^{(1)}_{1}\,\neq\,0\,\,\,\,;\,\,\,\,A'^{(1)}_{2}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,A'^{(2)}_{1}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,A'^{(2)}_{2}\,\neq\,0$ (3.189)
Les équations (3.181) s'écrivent, pour $\lambda=\lambda_{1}$ , compte tenu de (3.187) :

$\displaystyle T'_{11}\,A'^{(1)}_{1}=\lambda_{1}\,A'^{(1)}_{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,T'_{21}\,A'^{(1)}_{1}=\lambda_{1}\,A'^{(1)}_{2}=0$ (3.190)

d'où :

$\displaystyle T'_{11}=\lambda_{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,T'_{21}=0$ (3.191)

Pour $\lambda=\lambda_{2}$ , on obtient :

$\displaystyle T'_{12}\,A'^{(2)}_{2}=\lambda_{2}\,A'^{(2)}_{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,T'_{22}\,A'^{(2)}_{2}=\lambda_{2}\,A'^{(2)}_{2}$ (3.192)

d'où :

$\displaystyle T'_{12}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,T'_{22}=\lambda_{2}$ (3.193)

Dans son sytème d'axes principaux, le tenseur $T_{ik}$ a pour représentation matricielle :

$\displaystyle [T'_{ik}]=\begin{bmatrix}T'_{11}&0 \\ 0&T'_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0 \\ 0&\lambda_{2} \end{bmatrix}$
Dans le système d'axes principaux, les valeurs des composantes du tenseur permettent d'écrire l'équation (3.180) sous la forme :

$\displaystyle \lambda_{1}\,(x'_{1})^{2}+\lambda_{2}\,(x'_{2})^{2}=1$ (3.194)

soit encore :

$\displaystyle \dfrac{(x'_{1})^{2}}{1/\lambda_{1}}+\dfrac{(x'_{2})^{2}}{1/\lambda_{2}}=1$ (3.195)

C'est l'équation d'une ellipse dont les demi-axes ont pour longueur $1/\sqrt{\lambda_{1}}$ et $1/\sqrt{\lambda_{2}}$ . C'est l'ellipse représentative du tenseur $T_{ik}$ .
Les nombres $\lambda$ et $\lambda^{2}$ qui figurent dans l'équation (3.183) sont des scalaires ; les racines $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ de l'équation donnent les valeurs $1/\lambda_{1}$ et $1/\lambda_{2}$ qui sont les longueurs des demi-axes de l'ellipse du tenseur. Par suite, ces nombres sont indépendants du système d'axes choisi et il en est de même de leurs coefficients dans l'équation (3.183). Les quantités :

$\displaystyle C_{1}=T_{11}+T_{22}\,\,\,\,;\,\,\,\,C_{2}=T_{11}\,T_{22}-T_{12}^{2}$ (3.196)

sont donc des invariants du tenseur $T_{ik}$ .
Dans le système d'axes principaux, la valeur de $C_{2}$ est égale à $C_{2}=\lambda_{1}\,\lambda_{2}$ . D'autre part, la surface d'une ellipse de demi-axes et , est donnée par :

$\displaystyle S=\pi\,a\,b$ (3.197)

Dans le cas présent, on a : $a=1/\sqrt{\lambda_{1}}$ , $b=1/\sqrt{\lambda_{2}}$ , d'où :

$\displaystyle S=\pi\,\sqrt{\dfrac{1}{\lambda_{1}\,\lambda_{2}}}=\pi\,\sqrt{\dfrac{1}{C_{2}}}$ (3.198)

Ainsi l'invariance de $C_{2}$ exprime le fait que la surface de l'ellipse représentative du tenseur est constante dans tous les systèmes de coordonnées.

Remarque : Dans le cas d'un tenseur d'ordre deux d'un espace à trois dimensions, on obtient un ellipsoïde de représentation du tenseur (voir exercice 2.6).

Exercice 3.6

La construction suivante, due à Otto Mohr (1835-1918), est utile pour l'étude des tenseurs symétriques de rang deux. Elle est employée, par exemple, par les ingénieurs dans l'analyse des déformations et des contraintes.

Soit un système d'axes $Ox_{1}$ , $Ox_{2}$ , $Ox_{3}$ . Une rotation du système d'un angle $\alpha$ autour de l'axe $Ox_{3}$ donne les nouveaux axes $Ox'_{1}$ , $Ox'_{2}$ , $Ox'_{3}$ . Déterminer la matrice de passage des $x_{i}$ aux $x'_{j}$ .
Considérons un tenseur $S_{ij}$ ayant pour axes principaux $Ox_{1}$ , $Ox_{2}$ , $Ox_{3}$ . Dans ce système d'axes, le tenseur a pour seules composantes non nulles $S_{1}=S_{11}$ , $S_{2}=S_{22}$ , $S_{3}=S_{33}$ . Déterminer les expressions des composantes $S'_{ij}$ de ce tenseur dans le système d'axes $Ox'_{1}$ , $Ox'_{2}$ , $Ox'_{3}$ en fonction des composantes $S_{k}$ .
Écrire les expressions des $S'_{ij}$ en fonction de l'angle $2\,\alpha$ . On rappelle les relations suivantes :

cos $\displaystyle \,2\,\alpha=2\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha-1=1-2\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,$ sin $\displaystyle \,2\,\alpha=2\,$ sin $\displaystyle \,\alpha\,$ cos $\displaystyle \,\alpha$ (3.199)
On suppose que $S_{1}<S_{2}$ et que ces composantes sont positives. Su l'axe des abscisses d'un graphique, on place deux points et situés à des distances $S_{1}$ et $S_{2}$ de l'origine . On trace le cercle centré sur l'axe des abscisses et de diamètre égal à . Démontrer que les valeurs des composantes $S'_{ij}$ du tenseur sont les coordonnées de deux points opposés sur le cercle, appelé cercle de Mohr.
Réciproquement, si on se donne les valeurs $S'_{ij}$ , montrer que le cercle de Mohr permet de trouver les composantes principales $S_{ij}$ du tenseur ainsi que la direction des axes principaux.
La construction du cercle de Mohr reste valable si l'axe de rotation $Ox_{3}$ n'est plus un axe principal du tenseur. Si on considère une section centrale arbitraire de l'ellipsoïde représentative du tenseur, on obtient une conique ; soit alors $Ox_{1}$ et $Ox_{2}$ les axes principaux de cette section. Par rapport aux axes $Ox_{1}$ , $Ox_{2}$ et $Ox_{3}$ normal à la section considérée, le tenseur prend la forme :

$\displaystyle \begin{bmatrix}S_{11}&0&S_{31} \\ 0&S_{22}&S_{23} \\ S_{31}&S_{23}&S_{33} \end{bmatrix}$ (3.200)

Déterminer les composantes $S'_{ij}$ du tenseur après une rotation d'un angle $\alpha$ autour de l'axe $Ox_{3}$ . Montrer que la construction du cercle de Mohr s'applique également dans ce cas.

Solutions

Ce calcul a déjà été realisé au cours de l'exercice 1.10. On obtient :

$\displaystyle \begin{bmatrix}\text{cos}\,\alpha&\text{sin}\,\alpha&0 \\ -\text{sin}\,\alpha&\text{cos}\,\alpha&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ (3.201)
Le changement de référentiel donne pour expression des composantes $S'_{kl}$ dans le référentiel $Ox'_{1}$ , $Ox'_{2}$ , $Ox'_{3}$ , selon la formule (2.12) :

$\displaystyle S'_{kl}=A'^{k}_{i}\,A'^{l}_{j}\,S_{ij}$ (3.202)

Les référentiels étant orthogonaux, les composantes contravariantes et covariantes sont indentiques. La matrice de passage (3.201) donne pour expression des nouvelles composantes :

$\displaystyle S'_{11}=$ $\displaystyle A'^{1}_{1}\,A'^{1}_{1}\,S_{11}+A'^{1}_{2}\,A'^{1}_{2}\,S_{22}=S_{1}\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha+S_{2}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha$ (3.203)

$\displaystyle S'_{22}=$ $\displaystyle S_{1}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha+S_{2}\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha$ (3.204)

$\displaystyle S'_{12}=$ $\displaystyle S'_{21}=(-S_{1}+S_{2})\,$ sin $\displaystyle \,\alpha\,$ cos $\displaystyle \,\alpha$ (3.205)

$\displaystyle S'_{33}=$ $\displaystyle S_{3}$ (3.206)

Les autres composantes $S'_{ij}$ du tenseur sont nulles. Le tenseur transformé a donc pour matrice :

$\displaystyle \begin{bmatrix}S'_{11}&S'_{12}&0 \\ S'_{12}&S'_{22}&0 \\ 0&0&S_{3} \end{bmatrix}$ (3.207)
Compte tenu des relations (3.199), les expressions (3.201) s'écrivent sous la forme :

$\displaystyle S'_{11}=\dfrac{1}{2}(S_{1}+S_{2})-(S_{2}-S_{1})\,$ cos $\displaystyle \,2\,\alpha$

$\displaystyle S'_{22}=\dfrac{1}{2}(S_{1}+S_{2})+(S_{2}-S_{1})\,$ cos $\displaystyle \,2\,\alpha$

$\displaystyle S'_{12}=\dfrac{1}{2}(S_{2}-S_{1})\,$ sin $\displaystyle \,2\,\alpha$ (3.208)
La figure 3.1 montre le cercle de centre centré sur l'axe des abscisses.

Figure 3.1

$\includegraphics[width=100mm height=75mm]{fig6.eps}$

On trace le diamètre , tel que fasse avec un angle $2\,\alpha$ mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Puisque $OC=(1/2)(S_{1}+S_{2})$ et que $CR=(1/2)(S_{2}-S_{1})$ , les équations (3.208) montrent que les coordonnées du point , par rapport aux axes du graphique, sont égaux à $S'_{22}$ et $S'_{12}$ . D'autre part, le point a pour abscisse $S'_{11}$ . Le cercle de Mohr montre ainsi comment les composantes $S'_{11}$ , $S'_{22}$ et $S'_{12}$ varient lors d'une rotation des axes de référence.

La construction du cercle de Mohr reste évidemment valable lorsque $S_{1}$ et $S_{2}$ sont négatifs ou s'ils sont de signes opposés.
Si l'on se donne les valeurs $S'_{11}$ , $S'_{22}$ et $S'_{12}$ , on peut déterminer les points et sur un graphique, leurs coordonnées étant :

$\displaystyle R=(S'_{22},S'_{12})\,\,\,\,;\,\,\,\,T=(S'_{11},-S'_{12})$ (3.209)

Les points et permettent de déterminer le centre du cercle et son diamètre. Le tracé du cercle donne les points d'intersection et avec l'axe des abscisses, ces points donnant les valeurs $S_{1}$ et $S_{2}$ des composantes principales du tenseur. D'autre part, l'angle $\alpha$ est donné par :

tan $\displaystyle \,2\,\alpha=\dfrac{2\,S'_{12}}{S'_{22}-S'_{11}}$ (3.210)
La matrice de rotation (3.201) subsiste mais les axes $Ox_{i}$ considérés à présent ne sont plus les axes principaux. Le changement de référentiel par rotation transforme les composantes selon la formule générale (3.202). On obtient :

$\displaystyle S'_{11}=S_{11}\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha+S_{22}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,S'_{22}=S_{11}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha+S_{22}\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha$

$\displaystyle S'_{12}=S'_{21}=(-S_{11}+S_{22})\,$ sin $\displaystyle \,\alpha\,$ cos $\displaystyle \,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,S'_{33}=S_{33}$

$\displaystyle S'_{23}=-S_{13}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha+S_{23}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,S'_{31}=S_{13}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha+S_{23}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha$ (3.211)

En ce qui concerne tout au moins $S'_{11}$ , $S'_{22}$ , $S'_{12}$ , on obtient les mêmes formules qu'en (3.206) et la construction du cercle de Mohr s'applique également.

Exercice 3.7

Soient deux opérateurs linéaires et agissant respectivement sur les vecteurs des espaces vectoriels $\varepsilon_{p}$ et $\varepsilon_{q}$ . On note $\Psi$ les vecteurs de $\varepsilon_{p}$ et $\Phi$ ceux de $\varepsilon_{q}$ ; l'espace produit tensoriel de $\varepsilon_{p}$ et $\varepsilon_{q}$ est noté $\varepsilon_{pq}$ = $\varepsilon_{p}$ $\,\otimes\,$ $\varepsilon_{q}$ . Par définition, l'opérateur noté :

$\displaystyle A\,\otimes\,B=C$

(3.212)

est l'opérateur qui, agissant sur un vecteur $\Psi\,\otimes\,\Phi$ de l'espace $\varepsilon_{pq}$ , donne le vecteur :

$\displaystyle C\,(\Psi\,\otimes\,\Phi)=(A\,\otimes\,B)\,(\Psi\,\otimes\,\Phi)=A\,\Psi\,\otimes\,B\,\Phi$

(3.213)

L'opérateur $A\,\otimes\,B$ est appelé le produit tensoriel des opérateurs et .

Soient les produits d'opérateurs $A_{1}\,A_{2}$ et $B_{1}\,B_{2}$ agissant respectivement dans les espaces $\varepsilon_{p}$ et $\varepsilon_{q}$ . Montrer qu'on a :

$\displaystyle A_{1}\,A_{2}\,\otimes\,B_{1}\,B_{2}=(A_{1}\,\otimes\,B_{1})\,(A_{2}\,\otimes\,B_{2})$ (3.214)
Montrer que l'opérateur $A^{-1}\,\otimes\,B^{-1}$ est l'opérateur inverse de $A\,\otimes\,B$ .
On note $\Psi$ un vecteur propre d'un opérateur agissant dans $\varepsilon_{p}$ , c'est-à-dire un vecteur tel que :

$\displaystyle A\,\Psi=\alpha\,\Psi$ (3.215)

où $\alpha$ est un nombre appelé valeur propre associée à $\Psi$ . De même, on considère un vecteur $\Phi$ qui est vecteur propre de l'opérateur agissant dans $\varepsilon_{q}$ , associè à la valeur propre $\beta$ . Montrer que les vecteurs $\Psi\,\otimes\,\Phi$ sont des vecteurs propres des opérateurs $A\,\otimes\,\mathds{1}_{q}$ et $\mathds{1}_{p}\,\otimes\,B$ , où $\mathds{1}_{q}$ et $\mathds{1}_{p}$ sont des opérateurs unité agissant respectivement dans $\varepsilon_{p}$ et $\varepsilon_{q}$ . Déterminer les valeurs propres respectives de ces opérateurs.
Déterminer les vecteurs propres et valeurs propres des opérateurs $(A\,\otimes\,\mathds{1}_{q})^{2}$ et $(\mathds{1}_{p}\,\otimes\,B)^{2}$ .
Soient { $\Psi_{i}$ } et { $\Phi_{j}$ } des bases respectives de $\varepsilon_{p}$ et $\varepsilon_{q}$ . Les éléments matriciels respectifs $a_{ki}$ et $b_{lj}$ des opérateurs et sont définis par :

$\displaystyle A\,\Psi_{i}=\sum_{k}\,a_{ki}\,\Psi_{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,B\,\Phi_{j}=\sum_{l}\,b_{lj}\,\Phi_{l}$ (3.216)

Déterminer les éléments matriciels de l'opérateur $A\,\otimes\,B$ .

Solutions

La définition (3.213) nous donne :

$\displaystyle (A_{1}\,A_{2}\,\otimes\,B_{1}\,B_{2})=[A_{1}\,(A_{2}\,\Psi)]\,\otimes\,[B_{1}\,(B_{2}\,\Phi)]$ (3.217)

Utilisant la définition (3.213) en sens inverse, on obtient :

$\displaystyle [A_{1}\,(A_{2}\,\Psi)]\,\otimes\,[B_{1}\,(B_{2}\,\Phi)]=(A_{1}\,\otimes\,B_{1})\,(A_{2}\,\Psi\,\otimes\,B_{2}\,\Phi)$ (3.218)

$\displaystyle =(A_{1}\,\otimes\,B_{1})\,(A_{2}\,\otimes\,B_{2})\,(\Psi\,\otimes\,\Phi)$ (3.219)

Les vecteurs $\Psi$ et $\Phi$ étant quelconques, les relations (3.217) et (3.219) donnent :

$\displaystyle (A_{1}\,A_{2}\,\otimes\,B_{1}\,B_{2})=(A_{1}\,\otimes\,B_{1})\,(A_{2}\,\otimes\,B_{2})$ (3.220)
La relation (3.220) permet d'écrire :

$\displaystyle (A\,\otimes\,B)\,(A^{-1}\,\otimes\,B^{-1})=(A\,A^{-1})\,\otimes\,(B\,B^{-1})=\mathds{1}_{p}\,\otimes\,\mathds{1}_{q}$ (3.221)

Selon la définition (3.213), on obtient :

$\displaystyle (\mathds{1}_{p}\,\otimes\,\mathds{1}_{q})\,(\Psi\,\otimes\,\Phi)=\mathds{1}_{p}\,\Psi\,\otimes\,\mathds{1}_{q}\,\Phi=\Psi\,\otimes\,\Phi$ (3.222)

L'opérateur $\mathds{1}_{p}\,\otimes\,\mathds{1}_{q}$ est donc l'opérateur unité agissant dans $\varepsilon_{p}$ $\,\otimes\,$ $\varepsilon_{q}$ , d'où :

$\displaystyle (A\,\otimes\,B)\,(A^{-1}\,\otimes\,B^{-1})=\mathds{1}_{pq}$ (3.223)

En conséquence, l'opérateur $(A^{-1}\,\otimes\,B^{-1})$ est l'opérateur inverse de $A\,\otimes\,B$ :

$\displaystyle (A\,\otimes\,B)^{-1}=A^{-1}\,\otimes\,B^{-1}$ (3.224)
La définition (3.213) du produit tensoriel de deux opérateurs ainsi que la relation (3.215), nous donnent :

$\displaystyle (A\,\otimes\,\mathds{1}_{q})\,(\Psi\,\otimes\,\Phi)=A\,\Psi\,\oti... ...mathds{1}_{q}\,\Phi=(\alpha\,\Psi)\,\otimes\,\Phi=\alpha\,(\Psi\,\otimes\,\Phi)$ (3.225)

Les vecteurs $\Psi\,\otimes\,\Phi$ de $\varepsilon_{p}$ $\,\otimes\,$ $\varepsilon_{q}$ sont des vecteurs de $(A\,\otimes\,\mathds{1}_{q})$ associés à la valeur propre $\alpha$ . Une démonstration analogue montre que les vecteurs $\Psi\,\otimes\,\Phi$ sont des vecteurs propres de $\mathds{1}_{p}\,\otimes\,B$ associés à la valeur propre $\beta$ .
L'application de l'opérateur $(A\,\otimes\,\mathds{1}_{q})^{2}$ aux vecteurs $\Psi\,\otimes\,\Phi$ donne, selon (3.225) :

$\displaystyle (A\,\otimes\,\mathds{1}_{q})^{2}\,(\Psi\,\otimes\,\Phi)=(A\,\otimes\,\mathds{1}_{q})\,\alpha(\Phi\,\otimes\,\Psi)=\alpha^{2}\,(\Psi\,\otimes\,\Phi)$ (3.226)

Les vecteurs $\Psi\,\otimes\,\Phi$ sont des vecteurs propres de l'opérateur $(A\,\otimes\,\mathds{1}_{q})^{2}$ associés à la valeur propre $\alpha^{2}$ . On montre de même que les vecteurs $\Psi\,\otimes\,\Phi$ sont également des vecteurs propres de l'opérateur $(\mathds{1}_{p}\,\otimes\,B)^{2}$ associés à la valeur propre $\beta^{2}$ .
Utilisant la propriété de distributivité (3.16) du produit tensoriel ainsi que l'associativité (3.17) par rapport à la multiplication par un scalaire, on obtient :

$\displaystyle A\,\otimes\,B\,(\Psi_{i}\,\otimes\,\Phi_{j})=(A\,\Psi_{i})\,\otimes\,(B\,\Phi_{j})$

$\displaystyle =\bigg(\sum_{k}\,a_{ki}\,\Psi_{k}\bigg)\,\otimes\,\bigg(\sum_{l}\,a_{lj}\,\Psi_{l}\bigg)$

$\displaystyle =\sum_{kl}\,(a_{ki}\,b_{lj})\,(\Psi_{k}\,\otimes\,\Phi_{l})$ (3.227)