Espaces ponctuels - Espace ponctuel pré-euclidien

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L'étude des phénomènes physiques recourt à leur représentation dans l'espace de la géométrie classique à trois dimensions ou dans celui de la relativité à quatre dimensions. Les vecteurs et les tenseurs peuvent en effet être attachés à chacun des points de l'espace et former des champs de vecteurs et de tenseurs, ce qui nécessite la définition mathématique d'espaces formés de points ou espaces ponctuels.

De plus, des espaces plus abstraits peuvent être imaginés pour décrire des phénomènes physiques, ce qui conduit à introduire des espaces ponctuels à un nombre quelconque de dimensions. C'est le cas, par exemple, de l'espace de phases utilisé en Physique statistique.

La définition précise d'espace ponctuel va être faite à partir de la notion d'espace vectoriel. Voyons tout d'abord l'exemple de l'espace ponctuel formé par des triplets de nombres qui est issu directement de l'espace de la géométrie classique.

Espace ponctuel formé de triplets de nombres - Donnons-nous des triplets de nombres réels notés $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$ , $B=(b_{1},b_{2},b_{3})$ , etc. Appelons $E'_{3}$ l'ensemble de tous les éléments etc., formés par des triplets de nombres. À tout couple de deux éléments de $E'_{3}$ , pris dans cet ordre, on peut faire correspondre un vecteur $\mathbf{x}$ noté $\mathbf{AB}$ , en définissant celui-ci par un triplet de nombres tel que $x_{i}=b_{i}-a_{i}$ , . On a donc $\mathbf{x}=\mathbf{AB}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ .

Ainsi qu'on l'a déjà vu au chapitre Premier, c'est un élément d'un espace vectoriel $E_{3}$ lorsqu'on a défini l'addition et la multiplication par un scalaire sur ces éléments.

La correspondance que l'on établit ainsi, entre tout couple de deux éléments de $E'_{3}$ et un vecteur d'un espace vectoriel $E_{3}$ , vérifie manifestement les propriétés suivantes :

EP1 : $\mathbf{AB}\,=\,-\mathbf{BA}$

EP2 : Associativité par rapport à l'addition : $\mathbf{AB}=\mathbf{AC}+\mathbf{CB}$

EP3 : Si est un élément arbitraire choisi dans $E'_{3}$ , à tout vecteur $\mathbf{x}$ de $E_{3}$ , il correspond un point et un seul tel que $\mathbf{OM}=\mathbf{x}$ .

Lorsqu'on a muni l'ensemble $E'_{3}$ de cette loi de correspondance, vérifiant les trois propriétés précédentes, on dit que l'ensemble des triplets de nombres constitue un espace ponctuel, noté $\varepsilon_{3}$ . Les éléments de $\varepsilon_{3}$ sont appelés des points.

Remarque - Formellement, il ne semble pas y avoir de différences entre un point $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$ , défini par un triplet de nombres, et un vecteur $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ , défini également de la même manière. Pour établir une distinction entre ces éléments, il faut revenir à la remarque que l'on a faite au chapitre Premier, lors de la généralisation de la notion de vecteur.

Au départ, on se donne un ensemble $E'_{3}$ d'éléments constitués par des triplets de nombres. Cet ensemble $E'_{3}$ ne comporte pas a priori de structure ; ses éléments seuls le définissent.

Rappelons que pour former un espace vectoriel $E_{3}$ , on définit sur les éléments de $E'_{3}$ deux lois de composition interne qui constituent la structure du nouvel ensemble $E_{3}$ ; les éléments de $E_{3}$ sont alors appelés des vecteurs.

La méthode est analogue pour former l'espace ponctuel $\varepsilon_{3}$ . On définit sur les couples déléments de $E'_{3}$ une loi de correspondance qui constitue la structure du nouvel ensemble $\varepsilon_{3}$ ; ses éléments sont alors appelés des points. Cet espace ponctuel $\varepsilon_{3}$ se confond en tant qu'ensemble d'éléments avec l'ensemble $E'_{3}$ mais il s'en distingue en tant qu'espace ponctuel qui constitue un ensemble structuré par la loi de correspondance que l'on se donne. De même, les espaces $E_{3}$ et $\varepsilon_{3}$ sont distincts par suite de leur structure différente et on peut établir une distinction entre les éléments de chacun de ces espaces. On dit que $E'_{3}$ constitue le support des espaces $E_{3}$ et $\varepsilon_{3}$ .

Définition d'un espace ponctuel

On peut généraliser à un support quelconque $E'_{n}$ la notion précédente d'espace ponctuel. Pour cela, on considère un ensemble $E'_{n}$ d'éléments, notés , etc., et on suppose qu'à tout couple d'éléments de $E'_{n}$ , pris dans cet ordre, on puisse faire correspondre un vecteur $\mathbf{x}$ , noté $\mathbf{AB}$ , d'un espace vectoriel $E_{n}$ , à dimensions. Si la correspondance ainsi réalisée vérifie les axiomes EP1, EP2 et EP3 précédents, on dit que l'ensemble $E'_{n}$ muni de cette structure constitue un espace ponctuel à dimensions que l'on note $\varepsilon_{n}$ . Les éléments de $\varepsilon_{n}$ sont appelés des points.

L'espace vectoriel $E_{n}$ est appelé l'espace associé à $\varepsilon_{n}$ . Lorsque l'espace vectoriel associé est un espace pré-euclidien, on dit que $\varepsilon_{n}$ est un espace ponctuel pré-euclidien.

Repères d'un espace ponctuel pré-euclidien

Considérons un point quelconque d'un espace ponctuel pré-euclidien $\varepsilon_{n}$ , et une base $(\mathbf{e_{i}})$ de l'espace vectoriel associé $E_{n}$ . On appelle repère de l'espace $\varepsilon_{n}$ l'ensemble du point et de la base $(\mathbf{e_{i}})$ . Ce repère sera noté $(O,\mathbf{e_{i}})$ ; le point est appelé l'origine du repère.

Coordonnées d'un point - Par définition, les coordonnées d'un point d'un espace ponctuel pré-euclidien $\varepsilon_{n}$ , par rapport au repère $(O,\mathbf{e_{i}})$ sont les composantes $x^{i}$ du vecteur $\mathbf{x}=\mathbf{OM}$ de l'espace $E_{n}$ , par rapport à la base $(\mathbf{e_{i}})$ .

Soient deux points et de $\varepsilon_{n}$ , définis par leurs coordonnées $x^{i}$ et $x'^{i}$ , on a : $\mathbf{OM}=x^{i}\,\mathbf{e_{i}}$ , $\mathbf{OM'}=x'^{i}\,\mathbf{e_{i}}$ . Utilisant les axiomes EP1 et EP2, il vient :

$\displaystyle \mathbf{MM'}=\mathbf{MO}+\mathbf{OM'}=-\mathbf{OM}+\mathbf{OM'}=(-x^{i}+x'^{i})\,\mathbf{e_{i}}$

(4.1)

On en déduit que les composantes du vecteur $\mathbf{MM'}$ , par rapport à la base $(\mathbf{e_{i}})$ , sont les quantités $(x'^{i}-x^{i})$ , différences des coordonnées des points et .

Changement de repère - Soient $(O,\mathbf{e_{i}})$ et $(O',\mathbf{e'_{j}})$ deux repères quelconques de $\varepsilon_{n}$ . Les bases sont liées entre elles par les relations :

$\displaystyle (a)\,\,\, \mathbf{e_{i}}=A'^{k}_{i}\,\mathbf{e'_{k}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\, \mathbf{e'_{k}}=A^{i}_{k}\,\mathbf{e_{i}}$

(4.2)

Cherchons les relations entre les coordonnées d'un point de $\varepsilon_{n}$ par rapport à ces deux repères. Pour cela, exprimons les vecteurs $\mathbf{OO'}$ et $\mathbf{O'O}$ sur chacunes dees bases de $E_{n}$ :

$\displaystyle (a)\,\,\, \mathbf{OO'}=\alpha^{i}\,\mathbf{e_{i}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\, \mathbf{O'O}=\alpha'^{j}\,\mathbf{e'_{j}}$

(4.3)

ainsi que les vecteurs $\mathbf{OM}$ et $\mathbf{O'M}$ , soit :

$\displaystyle (a)\,\,\, \mathbf{OM}=x^{i}\,\mathbf{e_{i}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\, \mathbf{O'M}=x'^{j}\,\mathbf{e'_{j}}$

(4.4)

On a d'autre part :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} \mathbf{OM}&=&\mathbf{OO'}+\mathbf{O'M}... ...e_{i}}=(\alpha^{i}+x'^{j}\,A^{i}_{j})\mathbf{e_{i}} \end{array}\end{displaymath}$

(4.5)

Identifiant les composantes par rapport au vecteur $\mathbf{e_{i}}$ dans les expressions (4.4) et (4.5), on obtient :

$\displaystyle x^{i}=\alpha^{i}+A^{i}_{j}\,x'^{j}$

(4.6)

En exprimant de façon analogue le vecteur $\mathbf{O'M}$ sur la base $(\mathbf{e'_{j}})$ , il vient :

$\displaystyle x'^{j}=\alpha'^{j}+A'^{j}_{i}\,x^{i}$

(4.7)

Distance entre deux points

Soit $\varepsilon_{n}$ un espace ponctuel pré-eucliden et et deux points de cet espace. Par définition, la norme du vecteur $\mathbf{MM'}$ s'appelle la distance des deux points et . On a :

$\displaystyle \textrm{distance}\,\,MM'=\textrm{norme}\,\,\mathbf{MM'}$

(4.8)

Si les deux points et ont respectivement pour coordonnées $x^{i}$ et $x'^{i}$ , par rapport à un repère $(O,\mathbf{e_{i}})$ , la relation (4.1) montre que le vecteur $\mathbf{MM'}$ a pour composantes les quantités $(x'^{i}-x^{i})$ . Le carré de la distance est donnée par :

$\displaystyle (\textrm{distance}\,\,MM')^{2}=g_{ij}\,(x'^{i}-x^{i})(x'^{j}-x^{j})$

(4.9)

Si le point est infiniment proche du point , ses coordonnées sont notées $(x^{i}+dx^{i})$ et le vecteur $\mathbf{MM'}=$ d $\,\mathbf{M}$ a pour composantes les quantités d $\,x^{i}$ . Notons la distance entre les points et . La relation (4.9) donne l'expression du carré de la distance entre ces points sous la forme :

d $\displaystyle \,s^{2}=g_{ij}\,$ d $\displaystyle \,x^{i}\,$ d $\displaystyle \,x^{j}$

(4.10)

Pour un espace ponctuel euclidien et des vecteurs de base $\mathbf{e_{i}}$ orthonormés, on a : $g_{ij}=\delta_{ij}$ et l'expression (4.10) devient alors :

d $\displaystyle \,s^{2}=$ d $\displaystyle \,x^{i}\,$ d $\displaystyle \,x^{i}$

(4.11)

On obtient une expression qui généralise, à dimensions, le carré de la distance élémentaire, par rapport à un repère cartésien, dans l'espace de la géométrie classique.

Dérivée d'un vecteur

Les vecteurs que l'on utilise en Physique sont généralement des fonctions de une ou plusieurs variables, celles-ci pouvant être des variables d'espace ou du temps. Lorsqu'en chaque point d'un espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ , on attache un tenseur, défini par ses composantes par rapport à un repère $(O,\mathbf{e_{i}})$ , on dira que l'on s'est donné un champ de tenseurs.

Pour des vecteurs à dimensions, la notion de dérivée d'un vecteur à trois dimensions se généralise et l'on obtient toutes les formules classiques relatives aux dérivées.

Vecteurs d'un espace vectoriel - Considérons un vecteur $\mathbf{x}$ appartenant à un espace euclidien $E_{n}$ dont les composantes, sur une base $(\mathbf{e_{i}})$ , sont des fonctions d'un paramètre quelconque $\alpha$ ; on note ce vecteur $\mathbf{x}(\alpha)$ et l'on a :

$\displaystyle \mathbf{x}(\alpha)=x^{i}(\alpha)\,\mathbf{e_{i}}$

(4.12)

Par définition, la dérivée du vecteur $\mathbf{x}$ est un vecteur noté $\mathbf{x'}(\alpha)$ dont les composantes sont les dérivées, par rapport au paramètre $\alpha$ , des fonctions $x^{i}(\alpha)$ :

$\displaystyle \mathbf{x'}(\alpha)=\dfrac{\text{d}\,x^{i}(\alpha)}{\text{d}\,\alpha}\,\mathbf{e_{i}}$

(4.13)

On appelle différentielle de $\mathbf{x}$ le vecteur, noté d $\mathbf{x}$ , tel que :

d $\displaystyle \,\mathbf{x}=\mathbf{x'}(\alpha)\,$ d $\displaystyle \,\alpha$

(4.14)

où $d\alpha$ est la différentielle du paramètre $\alpha$ . La dérivée d'un vecteur peut donc être notée : $\mathbf{x'}(\alpha)=$ d $\,\mathbf{x}/$ d $\,\alpha$ .

Les différentes formules de dérivation des vecteurs à trois dimensions relatives à la somme de vecteurs, au produit d'un vecteur par un scalaire, au produit scalaire de deux vecteurs, sont aisément transposables aux vecteurs à dimensions.

Si un vecteur $\mathbf{x}$ de $E_{n}$ dépend de plusieurs paramètres indépendants, $\alpha,\beta,\gamma$ , la dérivée partielle du vecteur $\mathbf{x}(\alpha,\beta,\gamma)$ par rapport à la variable $\alpha$ , par exemple, est un vecteur, noté $\partial\mathbf{x}/\partial\alpha$ , dont les composantes sont les dérivées partielles des composantes de $\mathbf{x}$ , soit :

$\displaystyle \dfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial\alpha}=\dfrac{\partial x^{i}}{\partial\alpha}\,\mathbf{e_{i}}$

(4.15)

La différentielle du vecteur $\mathbf{x}(\alpha,\beta,\gamma)$ s'écrit :

d $\displaystyle \,\mathbf{x}=\dfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial\alpha}\,$ d $\displaystyle \,\alpha+\dfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial\beta}\,$ d $\displaystyle \,\beta+\dfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial\gamma}\,$ d $\displaystyle \,\gamma$

(4.16)

Vecteurs d'un espace vectoriel associé à un espace ponctuel - Considérons à présent un espace vectoriel $E_{n}$ associé à un espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ . Dans un repère $(O,\mathbf{e_{i}})$ , tout point de $\varepsilon_{n}$ est associé à un vecteur $\mathbf{x}$ de $E_{n}$ tel que $\mathbf{x}=\mathbf{OM}$ . Si le vecteur $\mathbf{x}$ dépend d'un paramètre $\alpha$ et admet une dérivée $\mathbf{x'}(\alpha)$ , il en est de même de $\mathbf{OM}$ .

Montrons que le vecteur dérivé $\mathbf{x'}(\alpha)$ ne dépend pas du point origine mais seulement du point considéré. En effet, si est un autre point origine, on a :

$\displaystyle \mathbf{OM}=\mathbf{OO'}+\mathbf{O'M} \\$

(4.17)

et puisque le vecteur $\mathbf{OO'}$ est fixe et ne dépend que de $\alpha$ , on a d $\,\mathbf{OO'}/$ d $\,\alpha=\mathbf{0}$ , d'òu :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}\,\mathbf{OM}}{\text{d}\,\alpha}=\dfrac{\text{d}\,\mathbf{O'M}}{\text{d}\,\alpha}=\mathbf{x'}(\alpha)$

(4.18)

On peut donc noter la dérivée du vecteur $\mathbf{OM}$ en mentionnant seulement le point et l'on écrira :

$\displaystyle \mathbf{x'}(\alpha)=\dfrac{\text{d}\,\mathbf{M}}{\text{d}\,\alpha}=\mathbf{M'}(\alpha)$

(4.19)

La différentielle de $\mathbf{OM}$ s'écrit alors : d $\,\mathbf{M}=\mathbf{M'}(\alpha)\,$ d $\,\alpha$ .

Si un point de $\varepsilon_{n}$ est associé, par rapport à un repère $(O,\mathbf{e_{i}})$ , à un vecteur $\mathbf{x}(\alpha,\beta,\gamma)=\mathbf{OM}$ , les dérivées partielles de $\mathbf{OM}$ ne dépendront que du point et l'on écrira, par exemple :

$\displaystyle \dfrac{\partial\mathbf{x}}{\partial\alpha}=\dfrac{\partial\mathbf{M}}{\partial\alpha}$

(4.20)

Notation des dérivées

Afin d'alléger les expressions des dérivées partielles des fonctions dépendant de variables, on va utiliser par la suite les notations indicielles suivantes. Si $f(y^{1},y^{2},...,y^{n})$ est une fonction des variables $y^{i}$ , on notera les dérivées partielles sous la forme :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,f}{\partial\,y^{i}}=\partial_{i}\,f$

(4.21)

Les dérivées secondes par rapport aux variables $y^{i}$ et $y^{k}$ s'écriront :

$\displaystyle \dfrac{\partial^{2}\,f}{\partial\,y^{i}\partial\,y^{k}}=\partial_{ik}\,f$

(4.22)

Lorsque $\mathbf{x}$ est un vecteur tel que $\mathbf{x}=x^{i}\,\mathbf{e_{i}}$ , dont les composantes sont des fonctions de variables $y^{k}$ , soit : $x^{i}=x^{i}(y^{1},y^{2},...,y^{n})$ , les dérivées partielles du vecteur seront notées, en utilisant la convention de sommation :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,\mathbf{x}}{\partial\,y^{k}}=\partial_{k}\,\mathbf{x}=\partial_{k}\,(x^{i}\,\mathbf{e_{i}})=(\partial_{k}\,x^{i})\,\mathbf{e_{i}}$