• Systèmes de coordonnées
• Coordonnées rectilignes
• Coordonnées sphériques
• Coordonnées curvilignes

Coordonnées curvilignes

Systèmes de coordonnées

Les notions classiques de systèmes de coordonnées peuvent être généralisées à des espaces ponctuels à dimensions. On appelle système de coordonnées dans , tout mode de définition d'un point de cet espace en fonction de scalaires qui sont appelées coordonnées de dans le système considéré.

Par exemple, dans l'espace de la géométrie ordinaire, les coordonnées sont des scalaires généralement notés , , . Le système de coordonnées sphériques comporte trois paramètres notés , , .

Pour un système donné de coordonnées, on appelle ligne coordonnée le lieu des points lorsqu'une seule coordonnée varie, les autres étant égales à des constantes. En un point donné se croisent lignes coordonnées.

Ainsi dans l'espace , rapporté à un repère fixe, on obtient des lignes coordonnées qui sont des droites lorsque l'on pose, par exemple, cte, cte et que l'on fait varier .

Étudions tout d'abord la généralisation d'un système de coordonnées relatives à un repère fixe.

Coordonnées rectilignes

Les lignes coordonnées sont dans ce cas des droites et pour cette raison, ces coordonnées sont appelées des coordonnées rectilignes.

Coordonnées sphériques

Considérons, à titre d'exemple, un système de coordonnées de l'espace , de la géométrie ordinaire. Les points de cet espace peuvent être repérés à l'aide d'un système de coordonnées , , , appelées coordonnées sphériques, celles-ci étant généralement notées , , . Ces coordonnées sont définies à partir d'un repère fixe cartésien de , que l'on va noter et les coordonnées rectilignes d'un point de sont notées ,. Les coordonnées sphériques sont définies par les relations suivantes :

sincossinsincos

(4.24)

Les lignes coordonnées sont obtenues en maintenant constant deux paramètres et en faisant varier le troisième. Pour variable, on obtient des droites passant par le point et dont la direction est déterminée par les valeurs fixées des angles et . Les variations de font décrire au point un cercle centré sur , de rayon et situé dans le plan défini par l'angle . Les variations de donnent un cercle centré sur l'axe et situé dans un plan parallèle au plan . En un point donné se croisent trois lignes coordonnées.

Les coordonnées rectilignes sont des fonctions continûment dérivables par rapport aux coordonnées , , (sauf pour ). Le jacobien de la transformation est différent de zéro, ce qui assure la biunivocité de la correspondance entre un point et ses coordonnées sphériques. On obtient inversement les relations :

(4.25)

Les coordonnées sphériques constituent un exemple de système de coordonnées dites curvilignes dans l'espace (valables seulement sur l'espace privé d'une droite).

Coordonnées curvilignes

Considérons à présent un espace ponctuel et un repère de cet espace. Soit les coordonnées rectilignes d'un point de par rapport à ce repère.

Un système de coordonnées quelconques , à , est obtenu en se donnant fonctions arbitraires des paramètres , telles que :

(4.26)

On supposera par la suite que les fonctions satisfont aux propriétés suivantes :

1- Elles sont continûment dérivables jusqu'à un certain ordre supérieur ou égal à 2. Cette hypothèse implique, en tout point où elle est est satisfaite, que l'on a la permutabilité des dérivations :

(4.27)

2- Ces fonctions sont telles qu'on peut résoudre le système de équations (4.26) par rapport aux variables et les exprimer en fonction des , soit :

(4.28)

3- Lorsque les variables varient dans un domaine , les variables varient dans un domaine . Le jacobien des fonctions , donné par :

(4.29)

sera supposé différent de zéro dans le domaine ainsi que le jacobien des fonctions qui est l'inverse du jacobien . Si les jacobiens existent, ils sont non nuls comme consquence de l'hypothèse (2) ci-dessus.

Si l'on fixe paramètres en faisant varier un seul paramètre, par exemple, on obtient les coordonnées d'un ensemble de points de qui constituent une ligne coordonnée. En général, les lignes coordonnées ne sont pas des droites mais des courbes ; ces coordonnées sont appelées pour cette raison des coordonnées curvilignes. En un point de se croisent lignes coordonnées.