Espaces ponctuels - Repère naturel

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Table des matières

Sous-sections

Repère naturel

Définitions

Repère cartésien - Tout espace vectoriel pré-euclidien $E_{n}$ possédant une base orthonormée $\mathbf{e^{0}_{i}}$ , considérons en un point origine

un repère $(O,\mathbf{e^{0}_{i}})$ de l'espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ . On dira que ce repère est un repère cartésien. On pourra, en particulier, attacher à chaque point

de $\varepsilon_{n}$ un repère cartésien $(M,\mathbf{e^{0}_{i}})$ dont les vecteurs seront identiques en chaque point.

On note $x^{i}$ les coordonnées des vecteurs $\mathbf{OM}$ dans un repère cartésien.

Base naturelle - On a vu que les dérivées et les différentielles d'un vecteur $\mathbf{OM}$ de $\varepsilon_{n}$ sont indépendants du point d'un repère donné. Si $\varepsilon_{n}$ est rapporté à un système de coordonnées curvilignes $u^{k}$ , on peut donc écrire, en appelant $\mathbf{e_{k}}$ les vecteurs suivants :

$\displaystyle \mathbf{e_{k}}=\dfrac{\partial\,\mathbf{OM}}{\partial\,u^{k}}=\partial_{k}\,\mathbf{M}$

(4.30)

Soient $u^{1},u^{2},...,u^{n}$ les coordonnées curvilignes du point par rapport à un repère cartésien $(O,\mathbf{e^{0}_{i}})$ . Dans ce repère, on a : $\mathbf{OM}=x^{i}\,\mathbf{e^{0}_{i}}$ , où les coordonnées cartésiennes sont des fonctions $x^{i}=x^{i}(u^{1},u^{2},...,u^{n})$ . Le vecteur $\mathbf{e_{k}}$ défini par (4.30) a pour expression :

$\displaystyle \mathbf{e_{k}}=\partial_{k}\,(x^{i}\,\mathbf{e^{0}_{i}})=(\partial_{k}\,x^{i})\,\mathbf{e^{0}_{i}}$

(4.31)

À partir des composantes $\partial_{k}\,x^{i}$ du vecteur $\mathbf{e_{k}}$ , on peut former un déterminant $D(\partial_{k}\,x^{i})$ qui est précisément le jacobien (4.29) des fonctions $x^{i}$ . Puisque ce déterminant est différent de zéro, il en résulte que les vecteurs $\mathbf{e_{k}}$ sont linéairement indépendants.

Ces vecteurs, définis par la relation (4.30) sont appelés la base naturelle au point de l'espace vectoriel associé $E_{n}$ . Ils sont colinéaires aux tangentes des lignes coordonnées qui se coupent en point où ils sont définis.

Repère naturel - Associons au point de $\varepsilon_{n}$ un repère formé par le point et par les vecteurs de la base naturelle. Ce repère est appelé le repère naturel en du système de coordonnées $u^{k}$ ; il sera noté $(M,\mathbf{e_{k}})$ ou $(M,\partial_{k}\,\mathbf{M})$ .

La différentielle du vecteur $\mathbf{OM}$ s'exprime sous la forme :

d $\displaystyle \,\mathbf{M}=\partial_{k}\,\mathbf{M}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}=\mathbf{e_{k}}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(4.32)

Les quantités d $\,u^{k}$ constituent donc les composantes contravariantes du vecteur d $\mathbf{M}$ dans le repère naturel $(M,\mathbf{e_{k}})$ du système de coordonnées $u^{k}$ .

Repère naturel en coordonnées sphériques

Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel $E_{3}$ associé à l'espace ponctuel $\varepsilon_{3}$ de la géométrie ordinaire, en coordonnées sphériques. Écrivons l'expression des vecteurs $\mathbf{OM}$ dans un repère fixe cartésien $(O,\mathbf{e^{0}_{i}})$ :

$\displaystyle \mathbf{OM}=x^{i}\,\mathbf{e^{0}_{i}}=r\,$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{e^{0}_{1}}+r\,$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ sin $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{e^{0}_{2}}+r\,$ cos $\displaystyle \,\theta\,\mathbf{e^{0}_{3}}$

(4.33)

Les vecteurs $\mathbf{e^{0}_{i}}$ étant fixes, le vecteur $\mathbf{e_{1}}$ de la base naturelle s'écrit :

$\displaystyle \mathbf{e_{1}}=\partial_{1}\,\mathbf{M}=$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{e^{0}_{1}}+$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ sin $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{e^{0}_{2}}+$ cos $\displaystyle \,\theta\,\mathbf{e^{0}_{3}}$

(4.34)

Le vecteur $\mathbf{e_{1}}$ est porté par la droite et dirigé dans le sens des croissants. La dérivée de $\mathbf{OM}$ par rapport à $\theta$ donne le vecteur $\mathbf{e_{2}}$ :

$\displaystyle \mathbf{e_{2}}=\partial_{2}\,\mathbf{M}=r\,$ cos $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{e^{0}_{1}}+r\,$ cos $\displaystyle \,\theta\,$ sin $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{e^{0}_{2}}-r\,$ sin $\displaystyle \,\theta\,\mathbf{e^{0}_{3}}$

(4.35)

C'est un vecteur tangent à un grand cercle centré sur l'origine et dirigé dans le sens croissant de la coordonnée $\theta$ . La dérivée par rapport à $\varphi$ donne le vecteur $\mathbf{e_{3}}$ :

$\displaystyle \mathbf{e_{3}}=\partial_{3}\,\mathbf{M}=-r\,$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ sin $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{e^{0}_{1}}+r\,$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{e^{0}_{2}}$

(4.36)

C'est un vecteur tangent à un cercle parallèle au plan $x^{1}O x^{2}$ , centré sur l'axe $Ox^{3}$ , et dirigé dans le sens des valeurs croissantes de $\varphi$ .

Ces trois vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi qu'on le vérifie aisément en effectuant les produits scalaires $\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}$ . Lorsqu'il en est ainsi, on dit que les coordonnées sont des coordonnées curvilignes orthogonales.

Ces vecteurs ne sont pas tous normés, puisque l'on a :

$\displaystyle g_{11}=\mathbf{e_{1}}\,\cdot\,\mathbf{e_{1}}=1;\,\,\,g_{22}=\math... ...\mathbf{e_{2}}=r^{2};\,\,\,g_{33}=\mathbf{e_{3}}\,\cdot\,\mathbf{e_{3}}=r^{2}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\theta$

(4.37)

Le repère naturel, en coordonnées sphériques, est donc formé par des vecteurs variables en direction et en module en chaque point . Les quantités $g_{ij}$ constituent un exemple de tenseur attaché à chacun des points de l'espace $\varepsilon_{3}$ .

Changement de coordonnées curvilignes

Considérons deux systèmes quelconques de coordonnées curvilignes $u^{i}$ et $u'^{k}$ , liées entre elles par les relations :

$\displaystyle u^{i}=u^{i}\,(u'^{1},u'^{2},...,u'^{n})\,\,\,\,;\,\,\,\,u'^{k}=u'^{k}\,(u^{1},u^{2},...,u^{n})$

(4.38)

où les fonctions $u^{i}\,(u'^{1},u'^{2},...,u'^{n})$ sont supposées être plusieurs fois continuement dérivables par rapport aux $u'^{k}$ et de même pour les fonctions $u'^{k}\,(u^{1},u^{2},...,u^{n})$ par rapport aux coordonnées $u^{i}$ . Lorsqu'on passe d'un système de coordonnées à un autre, on dit que l'on effectue un changement de coordonnées curvilignes.

Les coordonnées $x^{j}$ par rapport à un repère fixe, sont liées également à chaque système de coordonnées curvilignes et l'on suppose que les jacobiens $D(\partial\,x^{j}/\partial\,u^{i})$ et $D(\partial\,x^{j}/\partial\,u'^{k})$ sont différents de zéro. Dans ce cas, le jacobien $D(\partial\,u^{i}/\partial\,u'^{k})$ est également non nul puisqu'on a la relation classique :

$\displaystyle D\bigg(\dfrac{\partial\,x^{j}}{\partial\,u^{i}}\bigg)\,D\bigg(\df... ...{\partial\,u'^{k}}\bigg)=D\bigg(\dfrac{\partial\,x^{j}}{\partial\,u'^{k}}\bigg)$

(4.39)

Changement de base naturelle - À chaque système de coordonnées curvilignes $u^{i}$ et $u'^{k}$ données par (4.38) est associé respectivement une base naturelle telle que :

$\displaystyle \mathbf{e_{k}}=\dfrac{\partial\,\mathbf{M}}{\partial\,u^{i}}\,\,\,;\,\,\,\mathbf{e'_{k}}=\dfrac{\partial\,\mathbf{M}}{\partial\,u'^{k}}$

(4.40)

Le calcul des relations entre les vecteurs de ces deux bases s'effectue en utilisant la formule de dérivation des fonctions composées, soit :

$\displaystyle \mathbf{e'_{k}}=\dfrac{\partial\,\mathbf{M}}{\partial\,u'^{k}}=\d... ...i}}{\partial\,u'^{k}}=\mathbf{e_{i}}\,\dfrac{\partial\,u^{i}}{\partial\,u'^{k}}$

(4.41)

Inversement, le développement de la dérivée $\dfrac{\partial\,\mathbf{M}}{\partial\,u^{i}}$ conduit à la relation :

$\displaystyle \mathbf{e_{i}}=\dfrac{\partial\,u'^{k}}{\partial\,u^{i}}\,\mathbf{e'_{k}}$

(4.42)

Lorsqu'on passe d'un système de coordonnées curvilignes à un autre, on substitue à la base $(\mathbf{e_{i}})$ de l'espace vectoriel $E_{n}$ , une autre base $(\mathbf{e'_{k}})$ de ce même espace vectoriel. Les relations de changement de base d'un espace vectoriel ont été utilisées précédemment en Algèbre et écrites sous la forme des relations (1.33) et (1.34), à savoir :

$\displaystyle (a)\,\,\,\,\mathbf{e_{i}}=A'^{k}_{i}\,\mathbf{e'_{k}}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,\mathbf{e'_{k}}=A^{i}_{k}\,\mathbf{e_{i}}$

(4.43)

Comparant les expressions (4.41) et (4.42) à la relation (4.43) et identifiant les coefficients des mêmes vecteurs de base, il vient :

$\displaystyle (a)\,\,\,\,A'^{k}_{i}=\dfrac{\partial\,u'^{k}}{\partial\,u^{i}}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,A^{i}_{k}=\dfrac{\partial\,u^{i}}{\partial\,u'^{k}}$

(4.44)

En conclusion, à tout système de coordonnées curvilignes $u^{i}$ et $u'^{k}$ sont associés respectivement, en un même point de $\varepsilon_{n}$ , des repères naturels $(M,\mathbf{e_{i}})$ et $(M,\mathbf{e'_{k}})$ dont les bases naturelles sont liées par les relations (4.41) et (4.42). À tout changement de coordonnées curvilignes correspond un changement de base donné par les formules (4.43) et (4.44).

Notation - La notation abrégée (4.21) des dérivées partielles permet d'écrire les formules de changement de base sous la forme :

$\displaystyle (a)\,\,\,\,A'^{k}_{i}=\partial_{i}\,u'^{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,A^{i}_{k}=\partial_{k}\,u^{i}$

(4.45)

Élément linéaire d'un espace ponctuel

On a vu que le carré de la distance d $\,s^{2}$ entre deux points et infiniment proches est donnée par la relation (4.10), à savoir :

d $\displaystyle \,s^{2}=g_{ij}\,$ d $\displaystyle \,x^{i}\,$ d $\displaystyle \,x^{j}$

(4.46)

où les $dx^{i}$ sont les composantes du vecteur d $\,\mathbf{M}=\mathbf{MM'}$ , rapportées à un repère fixe d'un espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ . Lorsque cet espace est rapporté à un système de coordonnées curvilignes $u^{i}$ , la relation (4.32) montre que le vecteur d $\,\mathbf{M}$ a pour composantes contravariantes les quantités d $\,u^{i}$ par rapport au repère naturel $(M,\mathbf{e_{i}})$ .

Le carré de la distance d $\,s^{2}$ s'écrit alors dans le repère naturel :

d $\displaystyle \,s^{2}=g_{ij}\,$ d $\displaystyle \,u^{i}\,$ d $\displaystyle \,u^{j}$

(4.47)

où les quantités $g_{ij}=\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}$ sont les composantes du tenseur fondamental ou tenseur métrique définies à l'aide d'une base naturelle. L'expression (4.47) s'appelle l'élément linéaire de l'espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ ou encore la métrique de cet espace.

Les vecteurs $\mathbf{e_{i}}$ du repère naturel varient en général d'un point à un autre. C'est le cas, par exemple, des coordonnées sphériques dont les quantités $g_{ij}$ sont données par la relation (4.37). La métrique de l'espace $\varepsilon_{3}$ , en coordonnées sphériques, est donnée par :

d $\displaystyle \,s^{2}=$ d $\displaystyle \,r^{2}+r^{2}\,$ d $\displaystyle \,\theta^{2}+r^{2}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\theta\,$ d $\displaystyle \,\varphi^{2}$

(4.48)

Une courbe $\Gamma$ de $\varepsilon_{n}$ peut être définie par la donnée des coordonnées curvilignes $u^{i}(\alpha)$ du lieu des points $M(\alpha)$ en fonction du paramètre $\alpha$ . La distance élémentaire sur cette courbe $\Gamma$ s'écrit alors :

d $\displaystyle \,s=\bigg[g_{ij}\,\dfrac{\partial\,u^{i}}{\partial\,\alpha}\,\dfrac{\partial\,u^{j}}{\partial\,\alpha}\bigg]^{1/2}\,d\alpha$

(4.49)

Lorsque $\alpha$ varie dans un intervalle $[\alpha_{1},\alpha_{2}]$ le point parcourt un arc de courbe, allant d'un point $M_{1}$ à un point $M_{2}$ . La longueur de l'arc $M_{1}M_{2}$ est donnée par l'intégrale :

$\displaystyle \textrm{arc}\,M_{1}M_{2}=\mathlarger{\int}_{\alpha_{1}}^{\alpha_{... ...artial\,\alpha}\,\dfrac{\partial\,u^{j}}{\partial\,\alpha}\bigg]^{1/2}\,d\alpha$

(4.50)

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