Les vecteurs - Exercices résolus

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Exercices résolus

Exercice 1.1

Utiliser la convention de sommation pour écrire les expressions qui suivent ; préciser la valeur de dans chaque cas ainsi que les indices muets et libres.

$b_{j1}\,x_{1}+b_{j2}\,x_{2}+b_{j3}\,x_{3}=6$
$b_{11}\,d_{11}+b_{12}\,d_{12}+b_{13}\,d_{13}+b_{14}\,d_{14}=C$

Solutions

L'indice est un indice libre ; notons l'indice muet, il vient :

$\displaystyle b_{jk}\,x_{k}=6 \,\,\,\,;\,\,\,\, n=3$
Les premiers indices, notés 1 des quantités et sont libres ; notons l'indice de sommation, il vient :

$\displaystyle b_{1j}\,d_{1j}=C \,\,\,\,;\,\,\,\, n=4$

Exercice 1.2

Pour , écrire explicitementl'expression $M_{ijk}\,B^{ij}$ .

Solutions

L'indice est un indice libre ; on a deux indices de sommation et et le nombre de termes obtenus doit être égal à $3^{2}=9$ .

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lclr} M_{ijk}^{ij}&=&M_{1jk}\,B^{1j}+M_{2jk}... ... &+&M_{31k}\,B^{31}+M_{32k}\,B^{32}+M_{33k}\,B^{33} \end{array}\end{displaymath}$

Exercice 1.3

Démontrer les identités suivantes :

$a_{ij}\,x_{i}\,x_{j}=a_{ji}\,x_{i}\,x_{j}$
$(a_{ik}-a_{ki})\,x_{i}\,x_{k}=0$

Solutions

Effectuons un changement des indices muets en changeant en et en , il vient :

$\displaystyle a_{ij}\,x_{i}\,x_{j}=a_{ji}\,x_{j}\,x_{i}=a_{ji}\,x_{i}\,x_{j}$
$\displaystyle (a_{ik}-a_{ki})\,x_{i}\,x_{k}=a_{ik}\,x_{i}\,x_{k}-a_{ki}\,x_{i}\,x_{k}$

Utilisant le résultat précédent $a_{ij}\,x_{i}\,x_{j}=a_{ji}\,x_{i}\,x_{j}$ , il vient :

$\displaystyle a_{ik}\,x_{i}\,x_{k}=a_{ki}\,x_{i}\,x_{k}$

d'où $(a_{ik}-a_{ki})\,x_{i}\,x_{k}=0$

Exercice 1.4

Démontrer qu'un déterminant d'ordre trois peut s'écrire sous la forme :

dét $\displaystyle [a_{ijk}]=\epsilon^{ijk}\,a_{1i}\,a_{2j}\,a_{3k}$

Solutions

Développons l'expression, il vient :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lclr} \epsilon^{ijk}\,a_{1i}\,a_{2j}\,a_{3k}... ...a_{3k})+a_{13}\,(\epsilon^{3jk}\,a_{2j}\,a_{3k})\\ \end{array}\end{displaymath}$

Les termes entre parenthèses sont les déterminants d'ordre deux. Le symbole d'antisymétrie $\epsilon^{1jk}$ a pour valeur :

$\displaystyle \epsilon^{111}=\epsilon^{112}=\epsilon^{113}=\epsilon^{121}=\epsi... ...silon^{133}=0\,\,\,\,; \,\,\,\,\epsilon^{123}=1\,\,\,;\,\,\,\,\epsilon^{132}=-1$

d'òu :

$\displaystyle \epsilon^{1jk}\,a_{2j}\,a_{3k}=a_{22}\,a_{33}-a_{23}\,a_{32}=\lef... ...in{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\ \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right \vert$

On obtient de même :

$\displaystyle \epsilon^{2jk}\,a_{2j}\,a_{3k}=a_{23}\,a_{31}-a_{21}\,a_{33}\,\,\,\,;\,\,\,\,\epsilon^{3jk}\,a_{2j}\,a_{3k}=a_{21}\,a_{32}-a_{22}\,a_{31}$

Regroupons avec le développement du début, on obtient :

$\displaystyle \epsilon^{ijk}\,a_{1i}\,a_{2j}\,a_{3k}=a_{11}\,\left\vert \begin{... ...in{array}{cc} a_{21} & a_{22} \\ \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{array} \right \vert$

C'est l'expression du développement selon sa première ligne d'un déterminant d'ordre trois.

Exercice 1.5

Considérons les vecteurs de base de $E_{3}$ :

$\displaystyle \mathbf{e_{1}}=(a,0,0)\,\,\,\,;\,\,\,\,\mathbf{e_{2}}=(b,c,0)\,\,\,\,;\,\,\,\,\mathbf{e_{3}}=(0,0,d)$

Démontrer que ces vecteurs sont linéairement indépendants.
Calculer la décomposition d'un vecteur donné : $\mathbf{X}=(A,B,C)$ sur la base { $\mathbf{e_{1}},\mathbf{e_{2}},\mathbf{e_{3}}$ }.

Solutions

Écrivons une combinaison linéaire des vecteurs $\mathbf{e_{1}}$ , $\mathbf{e_{2}}$ , $\mathbf{e_{3}}$ égale au vecteur nul, soit :

$\displaystyle \lambda_{1}\,\mathbf{e_{1}}+\lambda_{2}\,\mathbf{e_{2}}+\lambda_{... ...f{e_{3}}=\lambda_{1}\,(a,0,0)+\lambda_{2}\,(b,c,0)+\lambda_{3}\,(0,0,d)=(0,0,0)$

On en déduit : $\lambda_{2}=\lambda_{3}=0$ , d'où $\lambda_{1}=0$

Ces trois vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base de $E_{3}$ .
Cherchons une décomposition du vecteur $\mathbf{X}=(A,B,C)$ sous la forme :

$\displaystyle \mathbf{X}=x^{1}\,\mathbf{e_{1}}+x^{2}\,\mathbf{e_{2}}+x^{3}\,\mathbf{e_{3}}$

Écrivons cette décomposition sous la forme suivante :

$\displaystyle \mathbf{X}=x^{1}\,(a,0,0)+x^{2}\,(b,c,0)+x^{3}\,(0,0,d)=(A,B,C)$

Identifiant les nombres correspondants entre eux, il vient :

$\displaystyle x^{1}\,a+x^{2}\,b=A\,\,\,;\,\,\,x^{2}\,c=B\,\,\,;\,\,\,x^{3}\,d=C$

d'où les valeurs des composantes :

$\displaystyle x^{1}=\dfrac{cA-bB}{ac}\,\,\,;\,\,\,x^{2}=\dfrac{B}{c}\,\,\,;\,\,\,x^{3}=\dfrac{C}{d}$

Exercice 1.6

On considère trois vecteurs de $E_{3}$ :

$\displaystyle \mathbf{A}=(1,1,1)\,\,\,;\,\,\,\mathbf{B}=(0,1,1)\,\,\,;\,\,\,\mathbf{C}=(0,0,1)$

Montrer que ces trois vecteurs sont linéairement indépendants.
Déterminer une base orthogonale de $E_{3}$ en utilisant le procédé d'orthogonalisation de Schmidt.

Solutions

Les vecteurs $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ sont linéairement indépendants si le déterminant ayant pour éléments les composantes des vecteurs est différent de zéro. Le déterminant étant égal à un, $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ sont des vecteurs indépendants.
Cherchons trois vecteurs $\mathbf{e_{1}}$ , $\mathbf{e_{2}}$ , $\mathbf{e_{3}}$ pour construire une base orthogonale de $E_{3}$ . Posons : $\mathbf{e_{1}}=\mathbf{A}$ et cherchons $\mathbf{e_{2}}$ sous la forme : $\mathbf{e_{2}}=\alpha\,\mathbf{e_{1}}+\mathbf{B}$ . Le coefficient $\alpha$ se calcule en écrivant la relation d'orthogonalité :

$\displaystyle \mathbf{e_{1}}\,\cdot\,\mathbf{e_{2}}=\mathbf{A}\,\cdot\,(\alpha\,\mathbf{A}+\mathbf{B})=0$

On obtient :

$\displaystyle \alpha=-\dfrac{\mathbf{A}\,\cdot\,\mathbf{B}}{\mathbf{A}\,\cdot\,\mathbf{A}}=-\dfrac{2}{3}$

Le vecteur $\mathbf{e_{2}}$ est égal à : $\mathbf{e_{2}}=-\dfrac{2}{3}\,\mathbf{A}+\mathbf{B}=(-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$

Le vecteur $\mathbf{e_{3}}$ est cherché sous la forme : $\mathbf{e_{3}}=\beta\,\mathbf{e_{1}}+\gamma\,\mathbf{e_{2}}+\mathbf{C}$ . Écrivons les deux relations d'orthogonalité :

$\displaystyle \mathbf{e_{1}}\,\cdot\,\mathbf{e_{3}}=\mathbf{e_{1}}\,\cdot\,(\be... ...thbf{e_{2}}\,\cdot\,(\beta\,\mathbf{e_{1}}+\gamma\,\mathbf{e_{2}}+\mathbf{C})=0$

On obtient :

$\displaystyle \mathbf{e_{3}}=-\dfrac{1}{3}\,\mathbf{e_{1}}-\dfrac{1}{2}\,\mathbf{e_{2}}+\mathbf{C}=(0,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$

Exercice 1.7

Soient deux vecteurs de $E_{3}$ :

$\displaystyle \mathbf{A}=(a_{1},a_{2},a_{3})\,\,\,\,;\,\,\,\,\mathbf{B}=(b_{1},b_{2},b_{3})$

et une base de $E_{3}$ définie par : { $\mathbf{e_{1}}=(1,1,1),\mathbf{e_{2}}=(0,1,1),\mathbf{e_{3}}=(0,0,1)$ }

Déterminer les composantes contravariantes de $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ .
Déterminer les composantes covariantes de $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ à l'aide de deux manières différentes.
On considère les deux vecteurs particuliers : $\mathbf{A}=(4,1,2)$ ; $\mathbf{B}=(1,3,5)$

Calculer les valeurs numériques des composantes contravariantes et covariantes des vecteurs $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ .
Calculer le produit scalaire des vecteurs $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ à l'aide des composantes contravariantes et covariantes.

Solutions

Les vecteurs $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ se décomposent sur la base donnée selon la méthode de l'exercice 1.5 ; on obtient :

$\displaystyle \mathbf{A}=a_{1}\,\mathbf{e_{1}}+(a_{2}-a_{1})\,\mathbf{e_{2}}+(a_{3}-a_{2})\,\mathbf{e_{3}}\\$

$\displaystyle =x^{1}\,\mathbf{e_{1}}+x^{2}\,\mathbf{e_{2}}+x^{3}\,\mathbf{e_{3}}\\$

$\displaystyle \mathbf{B}=b_{1}\,\mathbf{e_{1}}+(b_{2}-b_{1})\,\mathbf{e_{2}}+(b_{3}-b_{2})\,\mathbf{e_{3}}\\$

$\displaystyle =y^{1}\,\mathbf{e_{1}}+y^{2}\,\mathbf{e_{2}}+y^{3}\,\mathbf{e_{3}}$

Par définition, les composantes contravariantes sont les nombres que multiplient les vecteurs de base. On a :

$\displaystyle x^{1}=a_{1}\,\,\,;\,\,\,x^{2}=a_{2}-a_{1}\,\,\,;\,\,\,x^{3}=a_{3}-a_{2}$

$\displaystyle y^{1}=b_{1}\,\,\,;\,\,\,y^{2}=b_{2}-b_{1}\,\,\,;\,\,\,y^{3}=b_{3}-b_{2}$
Les composantes covariantes $x_{j}$ d'un vecteur $\mathbf{A}$ sont, par définition, les produits scalaires de $\mathbf{A}$ par chacun des vecteurs de base, soit :

$\displaystyle x_{j}=A\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}=(x^{1}\,\mathbf{e_{1}}+x^{2}\,\mathbf{e_{2}}+x^{3}\,\mathbf{e_{3}})\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}\\$

$\displaystyle =x^{1}\,(\mathbf{e_{1}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}})+x^{2}\,(\mathbf{e_{2}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}})+x^{3}\,(\mathbf{e_{3}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}})\\$

$\displaystyle =x^{1}\,g_{1j}+x^{2}\,g_{2j}+x^{3}\,g_{3j}$

Les quantités $g_{ij}$ sont égales à $g_{ij}=\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}$ , soit :

$\displaystyle g_{11}=3\,\,\,;\,\,\,g_{12}=g_{21}=2\,\,\,;\,\,\,g_{13}=g_{31}=1$

$\displaystyle g_{22}=2\,\,\,;\,\,\,g_{23}=g_{32}=1\,\,\,;\,\,\,g_{33}=1$

Les composantes covariantes sont donc :

Vecteur $\mathbf{A}$ :

$\displaystyle x_{1}=$ $\displaystyle a_{1}\,g_{11}+(a_{2}-a_{1})\,g_{21}+(a_{3}-a_{2})\,g_{31}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$

$\displaystyle x_{2}=$ $\displaystyle a_{1}\,g_{12}+(a_{2}-a_{1})\,g_{22}+(a_{3}-a_{2})\,g_{32}=a_{2}+a_{3}$

Vecteur $\mathbf{B}$ :

$\displaystyle y_{1}=$ $\displaystyle b_{1}\,g_{11}+(b_{2}-b_{1})\,g_{21}+(b_{3}-b_{2})\,g_{31}=b_{1}+b_{2}+b_{3}$

$\displaystyle y_{2}=$ $\displaystyle b_{1}\,g_{12}+(b_{2}-b_{1})\,g_{22}+(b_{3}-b_{2})\,g_{32}=b_{2}+b_{3}$

On peut également utiliser les expressions de définition des vecteurs pour calculer les composantes covariantes. On a :

Vecteur $\mathbf{A}$ :

$\displaystyle x_{1}=$ $\displaystyle \mathbf{A}\,\cdot\,\mathbf{e_{1}}=(a_{1},a_{2},a_{3})\,\cdot\,(1,1,1)=a_{1}+a_{2}+a_{3}$

$\displaystyle x_{2}=$ $\displaystyle \mathbf{A}\,\cdot\,\mathbf{e_{2}}=(a_{1},a_{2},a_{3})\,\cdot\,(0,1,1)=a_{2}+a_{3}$

$\displaystyle x_{3}=$ $\displaystyle \mathbf{A}\,\cdot\,\mathbf{e_{3}}=a_{3}$

Vecteur $\mathbf{B}$ :

$\displaystyle y_{1}=$ $\displaystyle \mathbf{B}\,\cdot\,\mathbf{e_{1}}=(b_{1},b_{2},b_{3})\,\cdot\,(1,1,1)=b_{1}+b_{2}+b_{3}$

$\displaystyle y_{2}=$ $\displaystyle \mathbf{B}\,\cdot\,\mathbf{e_{2}}=(b_{1},b_{2},b_{3})\,\cdot\,(0,1,1)=b_{2}+b_{3}$

$\displaystyle y_{3}=$ $\displaystyle \mathbf{B}\,\cdot\,\mathbf{e_{3}}=b_{3}$
$\mathbf{A}=(4,1,2)\,\,\,;\,\,\,\mathbf{B}=(1,3,5)$ .

Composantes contravariantes :

Vecteur $\mathbf{A}$ : $x^{1}=4\,\,;\,\,x^{2}=-3\,\,;\,\,x^{3}=1\,\,$

Vecteur $\mathbf{B}$ : $y^{1}=1\,\,;\,\,y^{2}=2\,\,;\,\,y^{3}=2\,\,$

Composantes covariantes :

Vecteur $\mathbf{A}$ : $x_{1}=7\,\,;\,\,x_{2}=3\,\,;\,\,x_{3}=1\,\,$

Vecteur $\mathbf{B}$ : $y_{1}=9\,\,;\,\,y_{2}=8\,\,;\,\,y_{3}=5\,\,$
La formule (1.75) donne l'expression du produit scalaire sous la forme :

$\displaystyle \mathbf{A}\,\cdot\,\mathbf{B}=x^{1}\,y_{1}+x^{2}\,y_{2}+x^{3}\,y_{3}=17$

Soient deux systèmes de vecteurs réciproques, notés { $\mathbf{e_{1}},\mathbf{e_{2}},\mathbf{e_{3}}$ } et { $\mathbf{e^{1}},\mathbf{e^{2}},\mathbf{e^{3}}$ }. Partant de la définition des vecteurs réciproques : $\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e^{j}}=\delta_{ij}$ ,

Démontrer qu'on a :

$\displaystyle \mathbf{e^{1}}=\dfrac{\mathbf{e_{2}}\,\times\,\mathbf{e_{3}}}{V}\... ...\,;\,\,\,\mathbf{e^{3}}=\dfrac{\mathbf{e_{1}}\,\times\,\mathbf{e_{2}}}{V}\,\,\,$ avec $\displaystyle \,\,\,V=\mathbf{e_{1}}\,\cdot\,(\mathbf{e_{2}}\,\times\,\mathbf{e_{3}})$
Démontrer qu'on a inversement :

$\displaystyle \mathbf{e_{1}}=\dfrac{\mathbf{e^{2}}\,\times\,\mathbf{e^{3}}}{V}\... ...\,;\,\,\,\mathbf{e_{3}}=\dfrac{\mathbf{e^{1}}\,\times\,\mathbf{e^{2}}}{V}\,\,\,$ avec $\displaystyle \,\,\,V'=\mathbf{e^{1}}\,\cdot\,(\mathbf{e^{2}}\,\times\,\mathbf{e^{3}})$

Solutions

Des vecteurs réciproques sont tels que : $\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e^{j}}=\delta_{ij}$ . En particulier, $\mathbf{e^{1}}$ est orthogonal à $\mathbf{e_{2}}$ et $\mathbf{e_{3}}$ et par suite on peut écrire : $\mathbf{e^{1}}=\lambda\,(\mathbf{e_{2}}\,\times\,\mathbf{e_{3}})$

D'autre part : $\mathbf{e_{1}}\,\cdot\,\mathbf{e^{1}}=\lambda\,\mathbf{e_{1}}\,\cdot\,\,(\mathbf{e_{2}}\,\times\,\mathbf{e_{3}})=1$

d'où : $\lambda=\dfrac{1}{\mathbf{e_{1}}\,\cdot\,(\mathbf{e_{2}}\,\times\,\mathbf{e_{3}})}$ ; $\mathbf{e^{1}}=\dfrac{(\mathbf{e_{2}}\,\times\,\mathbf{e_{3}})}{\mathbf{e_{1}}\,\cdot\,(\mathbf{e_{2}}\,\times\,\mathbf{e_{3}})}$

On obtient de même :

$\mathbf{e^{2}}=\dfrac{(\mathbf{e_{3}}\,\times\,\mathbf{e_{1}})}{\mathbf{e_{1}}... ...athbf{e_{2}})}{\mathbf{e_{1}}\,\cdot\,(\mathbf{e_{2}}\,\times\,\mathbf{e_{3}})}$
La démonstration de l'expression des vecteurs $\mathbf{e_{i}}$ en fonction des vecteurs réciproques $\mathbf{e^{j}}$ est identique à la démonstration précédente en intervertissant le rôle des vecteurs $\mathbf{e_{i}}$ et $\mathbf{e^{j}}$ . Les bases réciproques ont des rôles symétriques l'une par rapport à l'autre.

Exercice 1.9

On considère trois vecteurs formant une base orthogonale de $E_{3}$ :

$\displaystyle \mathbf{e_{1}}=(a,0,0)\,\,\,;,\,\,\mathbf{e_{2}}=(0,b,0),\,\,;,\,\,\mathbf{e_{3}}=(0,0,c)$

Déterminer la base réciproque, notée { $\mathbf{e^{1}},\mathbf{e^{2}},\mathbf{e^{3}}$ }, de la base précédente.
Comparer les normes des vecteurs de chaque base
Considérons une base orthonormée : $\mathbf{e_{1}}=(1,0,0)$ ; $\mathbf{e_{2}}=(0,1,0)$ ;
$\mathbf{e_{3}}=(0,0,1)$

Déterminer la base réciproque.

Solutions

Les vecteurs $\mathbf{e^{j}}$ de la base réciproque sont tels que :

$\displaystyle \mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e^{j}}=\delta_{ij}$

Cherchons les vecteurs $\mathbf{e^{j}}$ sous la forme : $\mathbf{e^{j}}=(x_{j},y_{j},z_{j})$ ; la relation précédente nous donne :

$\displaystyle \mathbf{e_{1}}\,\cdot\,\mathbf{e^{1}}=(a,0,0)\,\cdot\,(x_{1},y_{1},z_{1})=a\,x_{1}=1 ;\\$

$\displaystyle \mathbf{e_{1}}\,\cdot\,\mathbf{e^{2}}=(a,0,0)\,\cdot\,(x_{2},y_{2},z_{2})=a\,x_{2}=0 ; \,\,\,$ etc $\displaystyle \\$

Les vecteurs $\mathbf{e^{j}}$ de la base réciproque sont :

$\displaystyle \mathbf{e^{1}}=(\dfrac{1}{a},0,0)\,\,\,;\,\,\,\mathbf{e^{2}}=(0,\dfrac{1}{b},0)\,\,\,;\,\,\,\mathbf{e^{3}}=(0,0,\dfrac{1}{c})$
Les vecteurs de la base { $\mathbf{e_{i}}$ } ont pour norme :

$\displaystyle \vert\vert\mathbf{e_{1}}\vert\vert=a\,\,\,;\,\,\,\vert\vert\mathbf{e_{2}}\vert\vert=b\,\,\,;\,\,\,\vert\vert\mathbf{e_{3}}\vert\vert=c$

Ceux de la base réciproque ont pour norme les inverses des grandeurs précédentes :

$\displaystyle \vert\vert\mathbf{e^{1}}\vert\vert=\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\vert\v... ...hbf{e^{3}}\vert\vert=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{\vert\vert\mathbf{e_{3}}\vert\vert}$
Pour une base orthonormée, les vecteurs de la base réciproque sont égaux aux vecteurs de la base.

Exercice 1.10

On considère dans un plan , un sytème d'axes orthogonaux portant les vecteurs $\mathbf{e_{1}}$ et $\mathbf{e_{2}}$ de longueur unité (Fig. 1.3). Une rotation des axes dans le plan d'un angle $\alpha$ , transforme ces vecteurs respectivement en $\mathbf{e'_{1}}$ et $\mathbf{e'_{2}}$ .

**Figure 1.3:** .
$\includegraphics[width=80mm height=60mm]{fig3.eps}$

Déterminer les expressions de $\mathbf{e'_{1}}$ et $\mathbf{e'_{3}}$ sur la base { $\mathbf{e_{1}}$ , $\mathbf{e_{2}}$ } et écrire les expressions des $A^{i}_{k}$ .
Faire de même pour $\mathbf{e_{1}}$ et $\mathbf{e_{2}}$ sur la base { $\mathbf{e'_{1}}$ , $\mathbf{e'_{2}}$ } et déterminer les $A'^{i}_{k}$ .
Soient $x^{1}$ et $x^{2}$ les composantes du vecteur $\mathbf{OM}$ sur la base { $\mathbf{e_{1}}$ , $\mathbf{e_{2}}$ } et $x'^{1}$ , $x'^{2}$ sur la base { $\mathbf{e'_{1}}$ , $\mathbf{e'_{2}}$ }. Déterminer $x^{1}$ et $x^{2}$ en fonction de $x'^{1}$ , $x'^{2}$ et inversement.

Solutions

Les composants de $\mathbf{e'_{1}}$ sont égales à ses projections sur les axes portant $\mathbf{e_{1}}$ et $\mathbf{e_{2}}$ ; de même pour $\mathbf{e'_{2}}$ (Fig.(1.3)). On a donc :

$\displaystyle \mathbf{e'_{1}}=$ cos $\displaystyle \,\alpha\,\mathbf{e_{1}}+$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\mathbf{e_{2}}$

$\displaystyle \mathbf{e'_{2}}=-$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\mathbf{e_{1}}+$ cos $\displaystyle \,\alpha\,\mathbf{e_{2}}$

On obtient :

$\displaystyle A^{1}_{1}=$ cos $\displaystyle \,\alpha\,\,\,;\,\,\,A^{2}_{1}=$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\,\,;\,\,\,A^{1}_{2}=-$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\,\,;\,\,\,A^{2}_{2}=$ cos $\displaystyle \,\alpha$
Un raisonnement géométrique direct (ou l'inversion des relations précédentes) nous donne :

$\displaystyle \mathbf{e_{1}}=$ cos $\displaystyle \,\alpha\,\mathbf{e'_{1}}-$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\mathbf{e'_{2}}$

$\displaystyle \mathbf{e_{2}}=$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\mathbf{e'_{1}}+$ cos $\displaystyle \,\alpha\,\mathbf{e'_{2}}$

On obtient :

$\displaystyle A'^{1}_{1}=$ cos $\displaystyle \,\alpha\,\,\,;\,\,\,A'^{2}_{1}=-$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\,\,;\,\,\,A^{'1}_{2}=$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\,\,;\,\,\,A'^{2}_{2}=$ cos $\displaystyle \,\alpha$
On peut utiliser les formules de changement de base (1.37) et (1.38) mais nous allons les établir directement. Le vecteur $\mathbf{OM}$ s'écrit :

$\displaystyle \mathbf{OM}=x^{1}\,\mathbf{e_{1}}+x^{2}\,\mathbf{e_{2}}=(x^{1}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha+x^{2}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha)\,\mathbf{e'_{1}}+(-x^{1}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha+x^{2}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha)\,\mathbf{e'_{2}}$

$\displaystyle =x'^{1}\,\mathbf{e'_{1}}+x'^{2}\,\mathbf{e'_{2}}$

Identifiant les composantes entre elles, il vient :

$\displaystyle x'^{1}=x^{1}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha+x^{2}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\,\,;\,\,\,;x'^{2}=-x^{1}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha+x^{2}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha$

Un calcul similaire nous donne :

$\displaystyle x^{1}=x'^{1}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha-x'^{2}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\,\,;\,\,\,;x^{2}=x'^{1}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha+x'^{2}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha$

Vérifions la formule (1.37), par exemple, on a : $x'^{k}=A'^{k}_{i}\,x^{i}$ soit :

$\displaystyle x'^{1}=x^{1}\,A'^{1}_{1}+x^{2}\,A'^{1}_{2}=x^{1}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha+x^{2}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha$

$\displaystyle x'^{2}=x^{1}\,A'^{2}_{1}+x^{2}\,A'^{2}_{2}=-x^{1}\,$ sin $\displaystyle \,\alpha+x^{2}\,$ cos $\displaystyle \,\alpha$