Exemples de tenseurs euclidiens - Exercices résolus

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Table des matières

Sous-sections

Exercices résolus

Exercice 2.1

On effectue un changement de base d'un espace vectoriel $E_{2}$ , défini par :

$\displaystyle \mathbf{e'_{1}}=3\,\mathbf{e_{1}}+\mathbf{e_{2}}\,\,\,\,;\,\,\,\,\mathbf{e'_{2}}=-\mathbf{e_{1}}+2\,\mathbf{e_{2}}$

Partant de la définition des composantes covariantes du tenseur fondamental, calculer ses nouvelles composantes $g'_{ij}$ en fonction des anciennes.
Vérifier les résultats en utilisant la formule générale (2.28).b de changement de base.

Solutions

Les composantes covariantes du tenseur fondamental dans la nouvelle base sont données par : $g'_{ij}=\mathbf{e'_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e'_{j}}$ , soit :

$\displaystyle g'_{11}=\mathbf{e'_{1}}\,\cdot\,\mathbf{e'_{1}}=(3\,\mathbf{e_{1}... ...{e_{1}}\,\cdot\,\mathbf{e_{2}})+(\mathbf{e_{2}})^{2}=9\,g_{11}+6\,g_{12}+g_{22}$

$\displaystyle g'_{12}=-3\,g_{11}+5\,g_{12}+2\,g_{22}=g'_{21}\,\,\,\,;\,\,\,\,g'_{22}=g_{11}-4\,g_{12}+4\,g_{22}$
La formule (1.34) de changement de base d'un vecteur :

$\displaystyle \mathbf{e'_{k}}=A^{i}_{k}\,\mathbf{e_{i}}$

donne dans le cas présent : $A^{1}_{1}=3\,\,\,;\,\,\,A^{2}_{1}=1\,\,\,;\,\,\,A^{1}_{2}=-1\,\,\,;\,\,\,A^{2}_{2}=2$

La formule de changement de base (2.28).b d'un tenseur d'ordre deux :

$\displaystyle t'_{kl}=A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,t_{ij}$

nous donne, par exemple :

$\displaystyle g'_{11}=A^{1}_{1}\,A^{1}_{1}\,g_{11}+A^{1}_{1}\,A^{2}_{1}\,g_{12}... ..._{1}\,A^{1}_{1}\,g_{21}+A^{2}_{1}\,A^{2}_{1}\,g_{22}=9\,g_{11}+6\,g_{12}+g_{22}$

On vérifie de même les autres expressions de $g'_{ij}$ .

Exercice 2.2

On considère un espace vectoriel $E_{3}$ à trois dimensions. Partant de la formule (1.102) : $g_{ik}\,g^{kj}=\delta_{ij}$ , démontrer que pour des vecteurs de base orthogonaux, on a :

$\displaystyle g^{ik}=\dfrac{1}{g_{ik}}\,\,\,\,\,$ lorsque $\displaystyle \,\,\,i=k$

Solutions

Selon la formule (1.102) : $g_{ik}\,g^{kj}=\delta_{ij}$ , pour , on obtient :

$\displaystyle g_{11}\,g^{11}+g_{12}\,g^{21}+g_{13}\,g^{31}=1$

Si les vecteurs de base sont orthogonaux, on a : $g_{12}=g_{21}=0$ ; $g_{13}=g_{31}=0$ ; il reste donc :

$\displaystyle g_{11}\,g^{11}=1\,\,\,\,\,$ d'où $\displaystyle \,\,\,g^{11}=\dfrac{1}{g_{11}}$

On démontre de même les autres relations : $g^{22}=\dfrac{1}{g_{22}}$ ; $g^{33}=\dfrac{1}{g_{33}}$

Soit un espace vectoriel $E_{2}$ ayant pour base { $\mathbf{e_{1}},\mathbf{e_{2}}$ }. On considère deux vecteurs : $\mathbf{x}=4\,\mathbf{e_{1}}+3\,\mathbf{e_{2}}$ et $\mathbf{y}=\mathbf{e_{1}}+5\,\mathbf{e_{2}}$ .

Déterminer les composantes contravariantes du produit tensoriel de $\mathbf{x}$ par $\mathbf{y}$ . Écrire la matrice de ce tenseur sur la base { $\mathbf{e_{1}},\mathbf{e_{2}}$ }.
On effectue un changement de base défini par :

$\displaystyle \begin{bmatrix}\mathbf{e'_{1}}\\ \mathbf{e'_{2}} \end{bmatrix}=\b... ...lpha \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{e_{1}}\\ \mathbf{e_{2}} \end{bmatrix}$

Déterminer les nouvelles composantes contravariantes du produit tensoriel.
Écrire la matrice du produit tensoriel pour $\alpha=\pi/2$ .

Solutions

Les vecteurs $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ ont pour composantes contravariantes respectives : $x^{1}=4$ , $x^{2}=3$ , $y^{1}=1$ , $y^{2}=5$ . Notons $u^{ij}=x^{i}\,y^{j}$ les composantes contravariantes du produit tensoriel de $\mathbf{x}$ par $\mathbf{y}$ ; il vient :

$\displaystyle u^{11}=x^{1}\,y^{1}=4\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{12}=x^{1}\,y^{2}=20\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{21}=x^{2}\,y^{1}=3\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{22}=x^{2}\,y^{2}=15$

La matrice du produit tensoriel est donnée par :

$\displaystyle [u^{ij}]=\begin{bmatrix}u^{11}&u^{12}\\ u^{21}&u^{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & 20 \\ 3 & 15 \end{bmatrix}$
Dans la formule (2.18) de transformation des composantes :

$\displaystyle u'^{kl}=A'^{k}_{i}\,A'^{l}_{j}\,u^{ij}$ (2.73)

les quantités $A'^{k}_{i}$ sont données par la matrice de changement de base. On a :

$\displaystyle A'^{1}_{1}=$ cos $\displaystyle \,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,A'^{2}_{1}=-$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,A'^{1}_{2}=$ sin $\displaystyle \,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,A'^{2}_{2}=$ cos $\displaystyle \,\alpha$ (2.74)

d'où :

$\displaystyle u'^{11}=A'^{1}_{1}\,A'^{1}_{1}\,u^{11}+A'^{1}_{1}\,A'^{1}_{2}\,u^{12}+A'^{1}_{2}\,A'^{1}_{1}\,u^{21}+A'^{1}_{2}\,A'^{1}_{2}\,u^{22}$ (2.75)

$\displaystyle =4\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha+23\,$ cos $\displaystyle \,\alpha\,$ sin $\displaystyle \,\alpha+15\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha$ (2.76)

$\displaystyle u'^{12}=11\,$ sin $\displaystyle \,\alpha\,$ cos $\displaystyle \,\alpha+20\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha-3\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha$ (2.77)

$\displaystyle u'^{21}=11\,$ sin $\displaystyle \,\alpha\,$ cos $\displaystyle \,\alpha-20\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha+3\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha$ (2.78)

$\displaystyle u'^{22}=4\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha-23\,$ sin $\displaystyle \,\alpha\,$ cos $\displaystyle \,\alpha+15\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha$ (2.79)
Si $\alpha=\pi/2$ , on a : cos $\,\alpha=0$ , sin $\,\alpha=1$ , d'où la matrice du tenseur :

$\displaystyle [u'^{ij}]=\begin{bmatrix}u'^{11}&u'^{12}\\ u'^{21}&u'^{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15 & -3 \\ -20 & 4 \end{bmatrix}$

Exercice 2.4

On considère dans l'espace géométrique ordinaire, de coordonnées cartésiennes , un ellipsoïde centré sur l'origine et dont les axes coïncident avec ceux du référentiel cartésien (Fig. 2.1). Si sont les longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde, son équation est :

$\displaystyle \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$

**Figure 2.1:** .
$\includegraphics[width=80mm height=60mm]{fig4.eps}$

On note $x^{1},x^{2},x^{3}$ les nouvelles coordonnées du référentiel cartésien après une rotation arbitraire autour de l'origine. Montrer que l'équation de l'ellipsoïde, dans ce nouveau repère, peut se mettre sous la forme :

$\displaystyle a_{ij}\,x^{i}\,x^{j}=1$

avec $a_{ij}=a_{ji}$ et.
Démontrer que les quantités $a_{ij}$ sont les composantes covariantes d'un tenseur.

Solutions

La rotation du référentiel est équivalent à un changement de base. Notons les composantes d'un vecteur $\mathbf{OM}$ ;on a, selon la formule (1.38) :

$\displaystyle x=A^{1}_{k}\,x^{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,y=A^{2}_{k}\,x^{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,z=A^{3}_{k}\,x^{k}$

L'équation de l'ellipsoïde devient après le changement de référentiel :

$\displaystyle \dfrac{(A^{1}_{k}\,x^{k})^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(A^{2}_{k}\,x^{k})^{2}}{b^{2}}+\dfrac{(A^{3}_{k}\,x^{k})^{2}}{c^{2}}=1$

Développons l'expression $(A^{1}_{k}\,x^{k})^{2}$ par exemple ; il vient :

$\displaystyle (A^{1}_{k}\,x^{k})^{2}=(A^{1}_{1}\,x^{1}+A^{1}_{2}\,x^{2}+A^{1}_{3}\,x^{3})^{2}$

$\displaystyle =(A^{1}_{1}\,x^{1})^{2}+(A^{1}_{2}\,x^{2})^{2}+(A^{1}_{3}\,x^{3})... ...{2}+2\,A^{1}_{1}\,x^{1}\,A^{1}_{3}\,x^{3}+2\,A^{1}_{2}\,x^{2}\,A^{1}_{3}\,x^{3}$

Regroupons tous les termes, on obtient une équation de la forme :

$\displaystyle a_{ij}\,x^{i}\,x^{j}=1\,\,\,\,\,\,$ avec, par exemple $\displaystyle \,\,\,\,\,a_{11}=(A^{1}_{1}/a)^{2}+(A^{2}_{1}/b)^{2}+(A^{3}_{1}/c)^{2}$

On vérifie aisément que les coefficients sont symétriques, c'est-à-dire tels que : $a_{ij}=a_{ji}$ .
Étudions comment se transforment les coefficients $a_{ij}$ lors d'un changement quelconque de base. Notons $x'^{j}$ les nouvelles composantes d'un vecteur $\mathbf{OM}$ ; on a : $x^{i}=A^{i}_{k}\,x'^{k}$ . L'équation de l'ellipsoïde s'écrit dans le nouveau système de coordonnées :

$\displaystyle a_{ij}\,x^{i}\,x^{j}=a_{ij}\,A^{i}_{k}\,x'^{k}\,A^{j}_{m}\,x'^{m}=a'_{km}\,x'^{k}\,x'^{m}=1$

Dans le nouveau système d'axes, les coefficients de l'ellipsoïde sont donnés par :

$\displaystyle a'_{km}=a_{ij}\,A^{i}_{k}\,A^{j}_{m}$

C'est la formule de transformation (2.28) des composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux. On dira que la surface représentée par l'équation $a_{ij}\,x^{i}\,x^{j}=1$ est l'ellipsoïde représentatif du tenseur $a_{ij}$ (en pratique, on désigne souvent un tenseur par l'expression générale de ses composantes).

Exercice 2.5

On considère un tétraèdre (Fig. 2.2) constitué d'un milieu continu, fluide ou solid, situé à l'intérieur de ce milieu et supposé en équilibre statique. Chaque face du tétraèdre est soumise à une force interne due au milieu lui-même et proportionnelle à l'aire de sa surface. On note les aires des faces :

$\displaystyle S_{1}=S(OBC)\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,S_{2}=S(OAC)$

$\displaystyle S_{3}=S(OAB)\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,S_{4}=S(ABC)$

**Figure 2.2:** .
$\includegraphics[width=85mm height=85mm]{fig5.eps}$

Soit $\mathbf{n}$ un vecteur unitaire orthogonal à la face , dirigé de l'intérieur vers l'extérieur du tétraèdre. Déterminer les composantes $n_{j}$ du vecteur $\mathbf{n}$ en fonction des aires des faces du tétraèdre.
Notons $\mathbf{f_{i}}$ la force qui s'exerce sur une face d'aire $S_{i}$ ,; ses composantes sont notées, suivant les axes orthogonaux $Ox_{i}$ :

$\displaystyle f_{1i}=\sigma_{1i}\,S_{i}\,\,\,\,;\,\,\,\,f_{2i}=\sigma_{2i}\,S_{i}\,\,\,\,;\,\,\,\,f_{3i}=\sigma_{3i}\,S_{i}\,\,\,\,$ avec $\displaystyle \,\,\,i=1,2,3$

Soit $\mathbf{F}$ la force qui s'exerce par unité d'aire ( $\mathbf{F}$ est appelée la contrainte) sur la face et soit $F_{i}$ ses composantes. En écrivant l'équilibre des forces qui s'exercent sur les quatres faces du tétraèdre, montrer qu'on a :

$\displaystyle F_{i}=\sigma_{ij}\,n_{j}\,\,\,\,;\,\,\,\,i,j=1,2,3$

Que peut-on en déduire pour les neufs quantités $\sigma_{ij}$ ?

Solutions

Les aires $S_{i}$ sont égales à la projection de l'aire sur le $i^{e}$ plan. Si l'on note $\mathbf{S_{T}}$ le vecteur orthogonal à la surface , de longueur égale à $S_{T}$ et dirigé de l'intérieur du tétraèdre vers l'extérieur, on a :

$\displaystyle \mathbf{S_{T}}=S_{1}\,\mathbf{i}+S_{2}\,\mathbf{j}+S_{3}\,\mathbf{k}$

où $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ sont les vecteurs de base orthonormés. Le vecteur $\mathbf{n}$ a donc pour composantes :

$\displaystyle n_{1}=S_{1}/S_{T}\,\,\,\,;\,\,\,\,n_{2}=S_{2}/S_{T}\,\,\,\,;\,\,\,\,n_{3}=S_{3}/S_{T}$
L'équilibre des forces du milieu s'exprime, pour les composants selon l'axe $0x_{1}$ , par :

$\displaystyle F_{1}\,S_{T}=f_{11}+f_{12}+f_{13}=\sigma_{11}\,S_{1}+\sigma_{12}\,S_{2}+\sigma_{13}\,S_{3}$

d'où : $F_{1}=\sigma_{11}\,n_{1}+\sigma_{12}\,n_{2}+\sigma_{13}\,n_{3}$

On obtient de même :

$\displaystyle F_{2}=\sigma_{21}\,n_{1}+\sigma_{22}\,n_{2}+\sigma_{23}\,n_{3}\,\... ...\,\,;\,\,\,\,\,\,F_{3}=\sigma_{31}\,n_{1}+\sigma_{32}\,n_{2}+\sigma_{33}\,n_{3}$

Finalement, on a :

$\displaystyle F_{i}=\sigma_{ij}\,n_{j}\,\,\,;\,\,\,i,j=1,2,3$

On obtient une relation entre deux vecteurs $\mathbf{F}$ et $\mathbf{n}$ de la forme (2.68). Nous avons vu que les quantités $\sigma_{ij}$ se transforment dans ce cas comme les composantes mixtes d'un tenseur d'ordre deux, selon la relation (2.72). Pour des vecteurs de base quelconques, les quantités $\sigma_{ij}$ doivent être écrites $\sigma^{i}_{j}$ . Le tenseur $\sigma^{i}_{j}$ est appelé le tenseur des contraintes. Le terme de tenseur vient précisément de l'étude des tensions internes existant au sein des milieux continus.

Exercice 2.6

L'expression des composantes $I_{ij}$ du tenseur d'inertie d'une particule de masse par rapport à un axe passant par l'origine d'un référentiel cartésien , est donnée par la formule (2.48).

Déterminer l'expression du moment d'inertie $\mathscr{M}_{u}$ de la particule par rapport à un axe quelconque, caractérisé par le vecteur unité $\mathbf{u}$ , en fonction des $I_{ij}$ et des composantes $u_{k}$ de $\mathbf{u}$ .
Utilisant l'expression (2.48) des composantes $I_{ij}$ , montrer que $\mathscr{M}_{u}$ peut s'écrire sous la forme :

$\displaystyle \mathscr{M}_{u}=m\,[\mathbf{r}^{2}-(\mathbf{r}\,\cdot\,\mathbf{u})^{2}]$

où $\mathbf{r}$ est le rayon vecteur partant du point d'origine situé sur l'axe et aboutissant au point où se trouve la particule.
Montrer que l'énergie cinétique d'une particule en rotation par rapport à un point fixe , avec une vitesse angulaire instantanée $\boldsymbol\omega$ est donnée par :

$\displaystyle T=\dfrac{1}{2}\,\mathscr{M}_{u}\,\boldsymbol\omega^{2}$

où $\mathscr{M}_{u}$ est le moment d'inertie de la particule par rapport à l'axe instantané de rotation de direction $\boldsymbol\omega$ . Exprimer en fonction des composantes $I_{ij}$ .

Solutions

Le moment d'inertie de la particule dans un autre référentiel cartésien a la même forme que celui donné par (2.47), à savoir :

$\displaystyle \mathscr{M}_{u}=a'_{i}\,a'_{j}\,I_{ij}$

où les $a'_{k}$ sont les cosinus directeurs de la droite portant le vecteur $\mathbf{u}$ . Mais les $a'_{k}$ sont donnés par :

$\displaystyle a'_{k}=\mathbf{u}\,\cdot\,\mathbf{i_{k}}=u_{k}$

où les vecteurs $\mathbf{i_{k}}$ ,, sont les vecteurs unitaires de base du référentiel . On a donc :

$\displaystyle \mathscr{M}_{u}=u_{i}\,u_{j}\,I_{ij}$
Notons $x_{k},\,\,\,k=1,2,3$ ,les composantes de $\mathbf{r}$ . Les expressions (2.47) des composantes $I_{ij}$ , substituées dans la formule ci-dessus de $\mathscr{M}_{u}$ , donnent :

$\displaystyle \mathscr{M}_{u}=m\,[x_{k}\,x_{k}-(x_{k}\,u_{k})^{2}]$

Le carré du rayon vecteur : $\mathbf{r}^{2}=x_{k}\,x_{k}$ ainsi que le produit scalaire : $\mathbf{r}\,\cdot\,\mathbf{u}=x_{k}\,u_{k}$ permettent d'écrire l'expression de $\mathscr{M}_{u}$ sous la forme demandée :

$\displaystyle \mathscr{M}_{u}=m\,[\mathbf{r}^{2}-(\mathbf{r}\,\cdot\,\mathbf{u})^{2}]$
Soit $\mathbf{r}$ le rayon vecteur ayant pour origine le point et soit $\mathbf{v}$ la vitesse instantanée de la particule. Son énergie cinétique est :

$\displaystyle T=\dfrac{1}{2}\,m\,\mathbf{v}^{2}=\dfrac{1}{2}\,m(\boldsymbol\omega\,\times\,\mathbf{r})^{2}$

Utilisant les propriétés du produit scalaire et du double produit vectoriel, il vient :

$\displaystyle T=\dfrac{1}{2}\,m\,\boldsymbol\omega(\mathbf{r}\,\times\,\boldsym... ...athbf{r}^{2}\,\boldsymbol\omega^{2}-(\mathbf{r}\,\cdot\,\boldsymbol\omega)^{2}]$

Le vecteur $\boldsymbol\omega$ ayant un module $\omega$ égal à la vitesse angulaire, utilisons le vecteur unitaire :

$\displaystyle \boldsymbol\omega_{0}=\dfrac{\boldsymbol\omega}{\omega}$

Il vient :

$\displaystyle T=\dfrac{1}{2}\,m\,\omega^{2}[\mathbf{r}^{2}-(\mathbf{r}\,\cdot\,\boldsymbol\omega_{0})^{2}]$

L'expression du moment d'inertie $\mathscr{M}_{\omega}$ apparaît dans l'énergie cinétique ci-dessus, d'où :

$\displaystyle T=\dfrac{1}{2}\,\mathscr{M}_{\omega}\,\omega^{2}$

L'utilisation de l'expression du moment d'inertie dans le (1) donne alors :

$\displaystyle T=\dfrac{1}{2}\,\mathscr{M}_{\omega}\,\omega^{2}=\dfrac{1}{2}\,I_... ...mega_{0i}\,\omega_{0j}\,\omega^{2}=\dfrac{1}{2}\,I_{ij}\,\omega_{i}\,\omega_{j}$

où les $\omega_{k}$ ,, sont les composantes de $\boldsymbol\omega$ et les $I_{ij}$ , les composantes du tenseur d'inertie par rapport au point .

Exercice 2.7

Sous l'effet d'une contrainte, certains cristaux sont le siège d'un moment électrique dont l'intensité est proportionnelle à la contrainte appliquée. C'est l'effet piézo-électrique direct. Les calculs suivants sont à effectuer dans des référentiels cartésiens.

En général, un état de contrainte est représenté par un tenseur d'ordre deux à neuf composantes (voir exercice 2.5). La polarisation électrique $\mathbf{P}$ d'un cristal est représentée par un vecteur à trois composantes $P_{i}$ . Chaque composante est liée linéairement à toutes les composantes $\sigma_{ij}$ du tenseur des contraintes. Écrire explicitement la relation entre $P_{1}$ et les composantes $\sigma_{ij}$ .
Écrire la relation générale pour les composantes $P_{i}$ du vecteur polarisation $\mathbf{P}$ .
Démontrer que les coefficients de proportionnalité entre les composantes de $\mathbf{P}$ et celles de $\sigma_{ij}$ forment un tenseur d'ordre trois.

Solutions

Dans un référentiel cartésien, les différents types de composantes des tenseurs sont confondus. La composante $P_{1}$ étant liée linéairement à toutes les composantes $\sigma_{ij}$ , on a une relation de la forme :

$\displaystyle P_{1}=d_{11k}\,\sigma_{1k}+d_{12k}\,\sigma_{2k}+d_{13k}\,\sigma_{3k}\,\,\,;\,\,\,k=1,2,3$ (2.80)

où les coefficients $d_{ijk}$ sont des constantes.
Sous une forme plus condensée, la relation (2.80) ci-dessus peut s'écrire :

$\displaystyle P_{1}=d_{1jk}\,\sigma_{jk}$ (2.81)

Remplaçant dans la relation (2.81), l'indice par un indice quelconque, par exemple, valant ou , on obtient :

$\displaystyle P_{l}=d_{lmn}\,\sigma_{mn}$ (2.82)
Notons $\sigma'_{ij}$ les composantes du tenseur des contraintes dans un nouveau référentiel d'axes $0x'_{k}$ . La polarisation devient dans le nouveau système d'axes. La forme générale des équations (2.82) est la même, quels que soient les axes de référence, afin de représenter une même loi physique. On peut donc écrire :

$\displaystyle P'_{i}=d'_{ijk}\,\sigma'_{jk}$ (2.83)

Les composantes du vecteur polarisation $\mathbf{P}$ sont liées entre elles dans les deux référentiels, selon la formule (1.37), par :

$\displaystyle P'_{i}=A'^{i}_{l}\,P_{l}$ (2.84)

Lors d'un changement de référentiel, les $\sigma'_{ij}$ sont liés aux $\sigma_{kl}$ , selon la formule (2.28), par :

$\displaystyle \sigma_{mn}=A'^{j}_{m}\,A'^{k}_{n}\,\sigma'_{jk}$ (2.85)

Reportant les relations (2.82) et (2.85) dans l'expression (2.84), il vient :

$\displaystyle P'_{i}=A'^{i}_{l}\,P_{l}=A'^{i}_{l}\,d_{lmn}\,\sigma_{mn}=A'^{i}_{l}\,d_{lmn}\,A'^{j}_{m}\,A'^{k}_{n}\,\sigma'_{jk}$ (2.86)

Comparant les relations (2.83) et (2.86), on obtient par identification des coefficients :

$\displaystyle d'_{ijk}=A'^{i}_{l}\,A'^{j}_{m}\,A'^{k}_{n}\,d_{lmn}$

On retrouve la propriété de changement de base d'un tenseur d'ordre trois donnée par la formule (2.41) en tenant compte du fait que les composantes mixtes, covariantes et contravariantes sont confondues pour des repères cartésiens.