Symboles de Christoffel

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Table des matières

Sous-sections

Symboles de Christoffel

Tenseurs sur un espace ponctuel

À chaque point d'un espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ , on peut associer un repère naturel $(M,\mathbf{e_{i}})$ dont les vecteurs $\mathbf{e_{i}}=\partial_{i}\,\mathbf{M}$ constituent une base de l'espace vectoriel associé $E_{n}$ .

Réciproquement, démontrons qu'à toute base de $E_{n}$ , on peut associer une base naturelle de $\varepsilon_{n}$ en choisissant un système de coordonnées curvilignes convenable. Pour cela, considérons une base quelconque $\mathbf{e'_{k}}$ de $E_{n}$ et soit $(M,\mathbf{e_{i}})$ un repère naturel de $\varepsilon_{n}$ correspondant à un système de coordonnées $u^{i}$ . Les vecteurs $\mathbf{e'_{k}}$ s'écrivent dans le repère $(M,\mathbf{e_{i}})$ : $\mathbf{e'_{k}}=A^{i}_{k}\,\mathbf{e_{i}}$ . Effectuons un changement de coordonnées $u'_{k}$ tel que : $u^{i}=A^{i}_{k}\,u'^{k}$ ; il correspond alors aux nouvelles coordonnées $u'_{k}$ la nouvelle base naturelle $e'_{k}$ telle que :

$\displaystyle \mathbf{e'_{k}}=\dfrac{\partial\,\mathbf{M}}{\partial\,u'^{k}}=\d... ...al\,u^{i}}\,\dfrac{\partial\,u^{i}}{\partial\,u'^{k}}=\mathbf{e_{i}}\,A^{i}_{k}$

(5.1)

En conclusion, l'ensemble des bases naturelles, en un même point de $\varepsilon_{n}$ , est identique à l'ensemble des bases de l'espace vectoriel $E_{n}$ associé à $\varepsilon_{n}$ . Par suite, les tenseurs construits sur les vecteurs de base de l'espace vectoriel $E_{n}$ vont pouvoir également être définis sur les bases naturelles $\mathbf{e_{i}}$ de l'espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ .

Pour cela, attachons à chaque point de $\varepsilon_{n}$ , un tenseur euclidien défini par ses composantes relatives au repère naturel au point d'un système de coordonnées $y^{i}$ . On dira que l'on s'est donné un champ de tenseurs dans ce système de coordonnées curvilignes.

On appellera tenseur au point sur $\varepsilon_{n}$ , tout tenseur sur l'espace vectoriel associé $E_{n}$ , attaché à un point de $\varepsilon_{n}$ . En particulier un vecteur de $E_{n}$ est également appelé vecteur sur $\varepsilon_{n}$ .

Si $(\mathbf{e_{i}})$ est une base arbitraire de $\varepsilon_{n}$ , associée à un système de coordonnées $u^{i}$ et définie en un point quelconque de $\varepsilon_{n}$ , tout tenseur $\mathbf{U}$ sur $\varepsilon_{n}$ peut être explicité à l'aide de cette base. Par exemple, un tenseur d'ordre trois, s'écrit :

$\displaystyle \mathbf{U}=u^{ijk}\,(\mathbf{e_{i}}\otimes\mathbf{e_{j}}\otimes\mathbf{e_{k}})$

(5.2)

et l'on dit que les quantités $u^{ijk}$ constituent les composantes naturelles du tenseur $\mathbf{U}$ au point , en coordonnées définissant les vecteur $\mathbf{e_{i}}$ . Si $\varepsilon_{n}$ est un espace ponctuel pré-euclidien, tous les développements que l'on a vus précédemmment sur les tenseurs pré-euclidiens s'appliquent aux tenseurs sur l'espace $\varepsilon_{n}$ .

Problèmes fondamentaux de l'analyse tensorielle

L'étude des champs de tenseurs constitue, pour le physicien, l'essentiel de l'analyse tensorielle. Le tenseur générique $\mathbf{U}$ de ce champ est une fonction du point et on le note $\mathbf{U}(M)$ . Si le tenseur $\mathbf{U}$ est une fonction seulement de , le champ considéré est appelé un champ fixe. Si $\mathbf{U}$ est, en outre, une fonction d'un ou plusieurs paramètres $\alpha$ autres que les coordonnées de , on dit que ce champ est variable et on le note $\mathbf{U}(M,\alpha)$ .

Les différentes opérations algébriques sur les tenseurs $\mathbf{U}(M)$ associés à un même point ne soulèvent pas de difficulté particulière. La dérivée de $\mathbf{U}(M)$ par rapport à un seul paramètre $\alpha$ conduit à utiliser les résultats classiques relatifs à la dérivation des vecteurs.

Variation des repères naturels - Une difficulté nouvelle apparaît lorsqu'on cherche à calculer la dérivée d'un tenseur $\mathbf{U}(M)$ par rapport aux coordonnées curvilignes. En effet, les composantes du tenseur sont définis en chaque point par rapport à un repère naturel qui varie d'un point à un autre. Par suite, le calcul de la variation élémentaire $\mathbf{U}(M')-\mathbf{U}(M)$ , lorsqu'on passe d'un point à un point infiniment voisin ne peut se faire que si l'on a recours à une même base. Pour pouvoir comparer l'un à l'autre les tenseurs $\mathbf{U}(M')$ et $\mathbf{U}(M)$ , on est amené à étudier comment varie un repère naturel, pour un système de coordonnées donné, lorsqu'on passe d'un point au point infiniment voisin .

Pour un système de coordonnées curvilignes $u^{i}$ donné d'un espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ , un problème fondamental de l'analyse tensorielle consiste donc à déterminer, par rapport au repère naturel $(M,\mathbf{e_{i}})$ au point , le repère naturel $(M',\mathbf{e'_{i}})$ au point voisin .

D'une part, le point sera parfaitement défini par rapport à si l'on détermine le vecteur d $\mathbf{M}$ tel que $\mathbf{MM'}=$ d $\mathbf{M}$ . Pour des coordonnées curvilignes $u^{k}$ , la décomposition d'un vecteur élémentaire d $\mathbf{M}$ est donnée par la relation (4.32), soit :

d $\displaystyle \,\mathbf{M}=\partial_{k}\,\mathbf{M}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}=\mathbf{e_{k}}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.3)

Les quantités d $\,u^{k}$ sont les composantes contravariantes du vecteur d $\mathbf{M}$ sur la base naturelle $\mathbf{e_{k}}$ .

D'autre part, les vecteurs $\mathbf{e'_{i}}$ vont pouvoir être déterminés en calculant les variations élémentaires d $\mathbf{e_{i}}$ des vecteurs $\mathbf{e_{i}}$ , par rapport au repère naturel $(M,\mathbf{e_{i}})$ , lorsqu'on passe de à ; on a alors $\mathbf{e'_{i}}=\mathbf{e_{i}}+$ d $\,\mathbf{e_{i}}$ . Le calcul des vecteurs d $\mathbf{e_{i}}$ reste alors le problème essentiel à résoudre. Nous allons tout d'abord étudier un exemple de ce type de calcul en coordonnées sphériques.

Comparaison des vecteurs entre eux - Un aspect plus général du problème étudié ci-dessus est le suivant : pour que comparer deux espaces vectoriels correspondant à des points différents ait un sens, il faut choisir une règle. Dans le cas présent des espaces ponctuels, il y en a une qui s'impose naturellement : deux vecteurs $\mathbf{U}(M)$ et $\mathbf{U}(M')$ sont dits égaux s'ils se déduisent l'un de l'autre par une translation dans $\varepsilon_{n}$ .

Après avoir résolu le problème du calcul des variations élémentaires d $\mathbf{e_{i}}$ des vecteurs d'un repère naturel, nous verrons que l'étude des variations élémentaires par translation des vecteurs et des tenseurs nécessite l'introduction d'un nouveau type de dérivée.

Symboles de Christoffel en coordonnées sphériques

Étudions le problème de la variation du repère naturel en coordonnées sphériques. Pour cela, reprenons l'expression des vecteurs $\mathbf{e_{i}}$ de la base naturelle en coordonnées sphériques, donnés par les relations (4.34) et (4.36) :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{l} \mathbf{e_{1}}=\partial_{1}\,\mathbf{M}=\... ...\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\mathbf{j} \end{array}\end{displaymath}$

(5.4)

avec $\mathbf{e^{0}_{1}}=\mathbf{i}$ , $\mathbf{e^{0}_{2}}=\mathbf{j}$ , $\mathbf{e^{0}_{3}}=\mathbf{k}$

Différentielles des vecteurs de la base naturelle - Les vecteurs de base $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ du repère fixe cartésien étant constants en module et en direction, la différentielle du vecteur $\mathbf{e_{i}}$ s'écrit :

d $\displaystyle \,\mathbf{e_{1}}=($ cos $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{i}+$ cos $\displaystyle \,\theta\,$ sin $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{j})\,$ d $\displaystyle \,\theta+(-$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ sin $\displaystyle \,\varphi\,\mathbf{i}+$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\varphi)\,$ d $\displaystyle \,\varphi$

(5.5)

On remarque que les termes entre parenthèses représentent respectivement les vecteurs $\mathbf{e_{2}}/r$ et $\mathbf{e_{3}}/r$ , d'où :

d $\displaystyle \,\mathbf{e_{1}}=($ d $\displaystyle \,\theta/r)\,\mathbf{e_{2}}+($ d $\displaystyle \,\varphi/r)\,\mathbf{e_{3}}$

(5.6)

On calcule de même, en différentiant les vecteurs $\mathbf{e_{2}}$ et $\mathbf{e_{3}}$ :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{l} \text{d}\,\mathbf{e_{2}}=(-r\,\text{d}\,\... ...t{cotan}\,\theta\,\text{d}\,\theta)\,\mathbf{e_{3}} \end{array}\end{displaymath}$

(5.7)

Les différentielles d $\,\mathbf{e_{i}}$ sont ainsi décomposés sur la base naturelle $\mathbf{e_{i}}$ . Si l'on note $w^{k}_{i}$ les composantes contravariantes du vecteur d $\,\mathbf{e_{i}}$ , celui-ci s'écrit :

d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}=w^{k}_{i}\,\mathbf{e_{k}}$

(5.8)

Les composantes $w^{k}_{i}$ des vecteurs d $\,\mathbf{e_{i}}$ sont des formes différentielles (combinaisons linéaires de différentielles). On a, par exemple :

$\displaystyle w^{2}_{1}=$ d $\displaystyle \,\theta/r\,\,\,\,;\,\,\,\,w^{3}_{3}=($ d $\displaystyle \,r/r)+cotan\,\theta\,$ d $\displaystyle \,\theta$

(5.9)

Symboles de Christoffel de deuxième espèce - Si l'on note de manière générale $u^{i}$ les coordonnées sphériques, on a :

$\displaystyle u^{1}=r\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{2}=\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{3}=\varphi$

(5.10)

Les différentielles des coordonnées sont alors notées : d $\,u^{1}=$ d $\,r$ , d $\,u^{2}=$ d $\,\theta$ , d $\,u^{3}=$ d $\,\varphi$ et les composantes $w^{j}_{i}$ s'écrivent alors de manière générale :

$\displaystyle w^{j}_{i}=\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.11)

où les quantités $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}$ sont des fonctions de $r,\theta,\varphi$ qui vont être explicitement obtenues en identifiant chaque composante $w^{j}_{i}$ . Par exemple, la composante $w^{3}_{3}$ s'écrit avec les notations de la relation (5.11) :

$\displaystyle w^{3}_{3}=($ d $\displaystyle \,r/r)+cotan\,\theta\,$ d $\displaystyle \,\theta=\textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{1}+\textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{2}+\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{3}$

(5.12)

Identifiant les coefficients des différentielles, il vient :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}=(1/r)\,\,\,\,;\,\... ...cotan\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}=0$

(5.13)

En procédant de même avec les neufs composantes $w^{j}_{i}$ , on obtient les vingt sept termes $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}$ . Pour un système de coordonnées curvilignes quelconques, ces quantités $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}$ sont appelés les symboles de Christoffel de deuxième espèce.

Définition des symboles de Christoffel

Symboles de deuxième espèce - Pour un espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ et un système de coordonnées curvilignes $u^{i}$ quelconque, la différentielle d $\,\mathbf{e_{i}}=w^{k}_{i}\,\mathbf{e_{k}}$ des vecteurs $\mathbf{e_{i}}$ de la base naturelle s'écrit sur cette base :

d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}=w^{j}_{i}\,\mathbf{e_{j}}=\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}\,\mathbf{e_{j}}$

(5.14)

où les $n^{3}$ symboles de Christoffel de deuxième espèce sont des fonctions des coordonnées curvilignes $u^{i}$ .

On vient de voir, sur l'exemple des coordonnées sphériques, qu'un calcul direct permet, par identification, d'obtenir explicitement les quantités $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}$ . On va voir qu'on peut également obtenir l'expression de ces quantités en fonction des composantes $g_{ij}$ du tenseur fondamental. Si l'on se donne l'élément linéaire d'un espace ponctuel, on pourra ainsi déterminer les symboles de Christoffel.

Symboles de première espèce - Le calcul des quantités $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}$ en fonction des $g_{ij}$ va nous amener à introduire d'autres symboles de Christoffel. Pour cela, écrivons les composantes covariantes, notées $w_{ji}$ , des différentielles d $\mathbf{e_{i}}$ , soit :

$\displaystyle w_{ji}=$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}$

(5.15)

On remarque que, initialement, l'indice dans la notation $w^{j}_{i}$ correspond à la -ième composante contravariante du vecteur d $\,\mathbf{e_{i}}$ par rapport au vecteur $\mathbf{e_{j}}$ et que l'on abaisse cet indice dans l'expression de la composante covariante $w_{ji}$ du vecteur d $\,\mathbf{e_{i}}$ sur le vecteur de base $\mathbf{e_{j}}$ .

Les composantes covariantes sont également des combinaisons linéaires des différentielles d $\,u^{i}$ que l'on peut écrire sous la forme :

$\displaystyle w_{ji}=\textrm{$\Gamma_{kji}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.16)

Les quantités $\textrm{$\Gamma_{kji}$}$ sont appelées les symboles de Christoffel de première espèce.

Puisque les composantes covariantes sont liées aux composantes contravariantes par les relations :

$\displaystyle w_{ji}=g_{jl}\,w^{l}_{i}=g_{jl}\,\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{i}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.17)

On obtient l'expression liant les symboles de Christoffel de chaque espèce :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{kji}$}=g_{jl}\,\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{i}$}$

(5.18)

Inversement, en écrivant l'expression des composantes contravariantes en fonction des covariantes, on obtient :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=g^{jl}\,\textrm{$\Gamma_{kli}$}$

(5.19)

Connaissant les symboles de Christoffel d'une espèce, on peut obtenir ceux de l'autre espèce par les relations précédentes.

Notation des symboles de Christoffel - Diverses notations sont utilisées pour reprsenter les symboles de Christoffel. Les plus usuelles sont les suivantes :

Symboles de première espèce : $\textrm{$\Gamma_{kji}$}=[ki,j]$

Symboles de deuxième espèce : $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=\{k^{j}i\}$

Détermination des symboles de Christoffel

Relation entre symboles de première espèce - Considérons un espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ et soit un élément linéaire d $\,s^{2}$ donné de cet espace :

d $\displaystyle \,s^{2}=g_{ij}\,$ d $\displaystyle \,x^{i}\,$ d $\displaystyle \,x^{j}$

(5.20)

Le calcul des $n^{3}$ symboles de Christoffel s'effectue à partir des quantités $g_{ij}$ . Partant de la définition de ces quantités :

$\displaystyle g_{ij}=\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}$

(5.21)

on obtient par différentiation de cette dernière relation :

d $\displaystyle \,g_{ij}=\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{j}}+\mathbf{e_{j}}\,\cdot\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}$

(5.22)

L'expression des différentielles d $\,\mathbf{e_{j}}=w^{l}_{j}\,\mathbf{e_{l}}$ nous donne :

d $\displaystyle \,g_{ij}=(\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e_{l}})\,w^{l}_{j}+(\mathbf{e_{j}}\,\cdot\,\mathbf{e_{l}})\,w^{l}_{i}=g_{il}\,w^{l}_{j}+g_{jl}\,w^{l}_{i}$

(5.23)

L'expression $g_{il}\,w^{l}_{j}$ représente la composante covariante $w_{ij}$ du vecteur d $\,\mathbf{e_{j}}$ , soit compte tenu des composantes contravariantes en fonction des symboles de Christoffel :

$\displaystyle w_{ij}=g_{il}\,w^{l}_{j}=g_{il}\,\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{j}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.24)

Substituant la relation (5.18) dans l'expression (5.24), on obtient :

$\displaystyle w_{ij}=\textrm{$\Gamma_{kij}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.25)

La différentielle d $\,g_{ij}$ donnée par la relation (5.23) s'écrit alors compte tenu de (5.25) :

d $\displaystyle \,g_{ij}=w_{ij}+w_{ji}=(\textrm{$\Gamma_{kij}$}+\textrm{$\Gamma_{kji}$})\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.26)

D'autre part, la différentielle de la fonction $g_{ij}$ s'écrit également :

d $\displaystyle \,g_{ij}=(\partial_{k}\,g_{ij})$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.27)

d'où en identifiant les coefficients des différentielles d $\,u^{k}$ dans ces deux dernières expressions :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{kij}$}+\textrm{$\Gamma_{kji}$}=\partial_{k}\,g_{ij}$

(5.28)

Puisqu'on a quantités $g_{ij}$ et que varie de 1 à , le système d'équations donné par la relation (5.28) comporte $n^{2}(n+1)/2$ équations.

Relation entre les symboles de deuxième espèce - L'intégrabilité de la différentielle d $\,\mathbf{M}=$ d $\,u^{j}\,\mathbf{e_{j}}=$ d $\,u^{j}\,\partial_{j}\,\mathbf{M}$ nécessite que les dérivées secondes des vecteurs $\mathbf{OM}$ de l'espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ soient indépendantes de l'ordre de dérivation, d'où :

$\displaystyle \partial_{kj}\,\mathbf{M}=\partial_{jk}\,\mathbf{M}$

(5.29)

On a d'autre part l'expression de la différentielle des vecteurs de la base naturelle sous la forme suivante, compte tenu de (5.14) :

d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}=(\partial_{k}\,\mathbf{e_{i}})\,$ d $\displaystyle \,u^{k}=w^{j}_{i}\,\mathbf{e_{j}}=(\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}\,\mathbf{e_{j}})\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.30)

On en déduit l'expression de la dérivée première : $\partial_{k}\,\mathbf{e_{i}}=\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}\,\mathbf{e_{j}}$ . La dérivée seconde du vecteur $\mathbf{OM}$ s'écrit alors :

$\displaystyle \partial_{kj}\,\mathbf{M}=\partial_{k}\,(\partial_{j}\,\mathbf{M}... ...,\mathbf{e_{j}}=\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{j}$}\,\mathbf{e_{l}}$

(5.31)

On obtient de même :

$\displaystyle \partial_{jk}\,\mathbf{M}=\partial_{j}\,\mathbf{e_{k}}=\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{k}$}\,\mathbf{e_{l}}$

(5.32)

Les relations (5.31) et (5.32) devant être égales, il vient en identifiant les composantes relatives au même vecteur $\mathbf{e_{l}}$ :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{j}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{k}$}$

(5.33)

Compte tenu de l'expression des symboles de Christoffel de première espèce $\textrm{$\Gamma_{kij}$}=g_{il}\,\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{j}$}$ et de la relation (5.33), on obtient les relations entre symboles de première espèce :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{kij}$}=\textrm{$\Gamma_{jik}$}$

(5.34)

Les symboles de Christoffel de première espèce sont symétriques par rapport à leurs indices extrêmes et ceux de deuxième espèce le sont par rapport à leurs indices inférieurs.

Systèmes d'équations - Pour chaque valeur de , la relation (5.34) donne, par suite de la symétrie des symboles de Christoffel, équations indépendantes, soit au total $n^{2}(n-1)/2$ équations. Ajoutées aux $n^{2}(n+1)/2$ équations (5.28), on obtient un système de $n^{3}$ équations algébriques où les inconnues sont les $n^{3}$ symboles de Christoffel.

La solution explicite de ces équations s'obtient aisément en utilisant la relation (5.34) dans l'expression (5.28), ce qui donne :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{jik}$}+\textrm{$\Gamma_{kji}$}=\partial_{k}\,g_{ij}$

(5.35)

puis en effectuant une permutation circulaire sur les indices, on obtient :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{kji}$}+\textrm{$\Gamma_{ikj}$}=\partial_{i}\,g_{jk}$

(5.36)

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{ikj}$}+\textrm{$\Gamma_{jik}$}=\partial_{j}\,g_{ki}$

(5.37)

Effectuons la somme des relations (5.35) et (5.36) et retranchons l'expression (5.37), il vient :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{kji}$}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{i}\,g_{jk}-\partial_{j}\,g_{ki})$

(5.38)

C'est l'expression des symboles de Christoffel de première espèce en fonction des dérivées partielles des composantes $g_{ij}$ du tenseur fondamental. On obtient ceux de deuxième espèce à partir des relations (5.19) et (5.38), soit :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=g^{il}\,\textrm{$... ...1}{2}\,g^{il}\,(\partial_{k}\,g_{jl}+\partial_{j}\,g_{lk}-\partial_{l}\,g_{kj})$

(5.39)

Les expressions (5.38) et (5.39) permettent le calcul effectif des symboles de Christoffel pour une métrique donnée. Lorsque les quantités $g_{ij}$ sont données à priori, on peut ainsi étudier les propriétés de l'espace ponctuel défini par la donnée de cette métrique, ce qui est le cas des espaces de Riemann.

Changement de base

Les notations utilisées pour les composantes $w^{j}_{i}$ des vecteurs de base naturelles ainsi que pour les symboles de Christoffel $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}$ ne doivent pas inciter à considérer ces quantités comme les composantes de tenseurs. Nous allons voir en effet qu'un changement de base ne conduit pas aux formules de transformations des composantes des tenseurs.

Considérons pour cela deux systèmes de coordonnées curvilignes, $u^{i}$ et $u'^{j}$ , correspondant à des bases naturelles $\mathbf{e_{i}}$ et $\mathbf{e'_{j}}$ , liées entre elles par les relations :

$\displaystyle (a)\,\,\,\mathbf{e_{i}}=A'^{l}_{i}\,\mathbf{e'_{l}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\, \mathbf{e'_{l}}=A^{j}_{k}\,\mathbf{e_{j}}$

(5.40)

La différentielle du vecteur $\mathbf{e_{i}}$ s'écrit :

d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}=A'^{l}_{i}\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e'_{l}}+$ d $\displaystyle \,A'^{l}_{i}\,\mathbf{e'_{l}}$

(5.41)

Écrivons d'autre part l'expression des différentielles des vecteurs $\mathbf{e_{i}}$ et $\mathbf{e'_{l}}$ sur chacune des bases naturelles, il vient :

$\displaystyle (a)\,\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}=w^{j}_{i}\,\mathbf{e_{j}}\,\,\,;\,\,\,(b)\,\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e'_{l}}=w'^{m}_{l}\,\mathbf{e'_{m}}$

(5.42)

Identifiant les relations (5.41) et (5.42)(a) et substituant les relations (5.42)(b) et (5.40)(b), on obtient :

$\displaystyle w^{j}_{i}\,\mathbf{e_{j}}=A'^{l}_{i}\,w'^{m}_{l}\,\mathbf{e'_{m}}+$ d $\displaystyle \,A'^{l}_{i}\,\mathbf{e'_{l}}=(A'^{l}_{i}\,w'^{m}_{l}\,A^{j}_{m}+$ d $\displaystyle \,A'^{l}_{i}\,A^{j}_{l})\,\mathbf{e_{j}}$

(5.43)

Par identification des coefficients d'un même vecteur $\mathbf{e_{j}}$ , on obtient :

$\displaystyle w^{j}_{i}=A'^{l}_{i}\,A^{j}_{m}\,w'^{m}_{l}+A^{j}_{l}\,$ d $\displaystyle \,A'^{l}_{i}$

(5.44)

C'est la formule de transformation des composantes $w^{j}_{i}$ lors d'un changement de base qui ne correspond pas à celle des composantes d'un tenseur. En exprimant les quantités qui figurent dans la relation (5.44) en fonction des symboles de Christoffel, il vient :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}=A'^{l}_{i}\,A^{j}_{m}\,\textrm{$\Gamma'_{h}$$^{}_{}$$^{m}$$^{}_{l}$}\,$ d $\displaystyle \,u'^{h}+A^{j}_{l}\,$ d $\displaystyle \,A'^{l}_{i}$

(5.45)

On a d'autre part les expressions suivantes des différentielles :

d $\displaystyle \,A'^{l}_{i}=\partial_{k}\,A'^{l}_{i}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,$ d $\displaystyle \,u'^{h}=A'^{h}_{k}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.46)

Reportant les expressions (5.46) dans la relation (5.45) et en identifiant les coefficients des différentielles d $\,u^{k}$ , il vient :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=A'^{l}_{i}\,A^{j}... ...extrm{$\Gamma'_{h}$$^{}_{}$$^{m}$$^{}_{l}$}+A^{j}_{l}\,\partial_{k}\,A'^{l}_{i}$

(5.47)

C'est la formule de changement de base des symboles de Christoffel qui diffère par un terme supplémentaire $A^{j}_{l}\,\partial_{k}\,A'^{l}_{i}$ de celle des composantes d'un tenseur.

Vecteurs réciproques

Calculons l'expression des variations élémentaires d $\,\mathbf{e^{k}}$ des vecteurs $\mathbf{e^{k}}$ , réciproques des vecteurs d'une base naturelle $\mathbf{e_{i}}$ . La relation (1.85) entre vecteurs réciproques :

$\displaystyle \mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e^{k}}=\delta_{ik}$

(5.48)

nous donne par différentiation :

d $\displaystyle \,(\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e^{k}})=\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e^{k}}+\mathbf{e^{k}}\,\cdot\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}=0$

(5.49)

La relation précédente s'écrit alors en utilisant l'expression d $\,\mathbf{e_{i}}=w^{j}_{i}\,\mathbf{e_{j}}$ :

$\displaystyle \mathbf{e_{i}}\,\cdot\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e^{k}}=-\mathbf{e^{k}}\,\cdot\,(w^{j}_{i}\,\mathbf{e_{j}})=-w^{j}_{i}\,\delta_{kj}=-w^{k}_{i}$

(5.50)

Les quantités $-w^{k}_{i}$ constituent donc les composantes covariantes du vecteur d $\,\mathbf{e^{k}}$ sur la base $\mathbf{e_{i}}$ . Par suite, ce sont les composantes contravariantes sur la base réciproque $\mathbf{e^{i}}$ . On a donc finalement :

d $\displaystyle \,\mathbf{e^{k}}=-w^{k}_{i}\,\mathbf{e^{i}}$

(5.51)

Équation des géodésiques

Nous avons dit précédemment que la comparaison de deux vecteurs doit s'effectuer par translation dans $\varepsilon_{n}$ , c'est-à-dire par déplacement le long d'une droite. Les droites de $\varepsilon_{n}$ vont constituer une généralisation de la notion de droite en géométrie classique.

Par définition, les droites de $\varepsilon_{n}$ , passant par deux points $M_{0}$ et $M_{1}$ , réalisent l'extrémum de la longueur des différents chemins possibles joignant $M_{0}$ à $M_{1}$ . Les droites constituent les géodésiques de l'espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ .

Soit une courbe $M_{0}\,C\,M_{1}$ de l'espace $\varepsilon_{n}$ définie par les équations paramétriques :

$\displaystyle u^{i}=u^{i}(t)$

(5.52)

La longueur de la courbe $M_{0}\,C\,M_{1}$ est donnée par l'intégrale :

$\displaystyle l=\mathlarger{\int}_{M_{0}}^{M_{1}}\,\bigg(g_{ij}\,\dfrac{\text{d... ...i}}{\text{d}\,t}\,\dfrac{\text{d}\,u^{j}}{\text{d}\,t}\bigg)^{1/2}\,\text{d}\,t$

(5.53)

Considérons à présent une autre courbe infiniment voisine $M_{0}\,C'\,M_{1}$ , passant par les deux points $M_{0}$ et $M_{1}$ . Nous allons montrer que si $M_{0}\,C\,M_{1}$ est une géodésique passant par les points $M_{0}$ et $M_{1}$ , elle est extrémale de toutes les autres courbes $M_{0}\,C'\,M_{1}$ .

Pour cela, choisissons comme paramètre arbitraire l'abscisse curviligne sur les courbess $M_{0}\,C'\,M_{1}$ . Les équations paramètriques des courbes sont alors :

$\displaystyle u^{i}=u^{i}(s)$

(5.54)

et l'intégrale (5.53) s'écrit avec ce nouveau paramétrage :

$\displaystyle l=\mathlarger{\int}_{M_{0}}^{M_{1}}\,\bigg(g_{ij}\,\dfrac{\text{d... ...i}}{\text{d}\,s}\,\dfrac{\text{d}\,u^{j}}{\text{d}\,s}\bigg)^{1/2}\,\text{d}\,s$

(5.55)

Posons : $u'^{i}=$ d $\,u^{i}/$ d $\,s$ et notons $f(u^{k},u'^{j})$ le carré de l'intégrande ; dans ces conditions, on a :

$\displaystyle f(u^{k},u'^{j})=g_{ij}\,u'^{i}\,u'^{j}=1$

(5.56)

car les $u'^{j}$ sont les cosinus directeurs du vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe considérée. Les courbes $M_{0}\,C'\,M_{1}$ qui permettent de rendre maximale ou minimale l'intégrale (5.55) sont définies par les équations dites d'Euler du calcul des variations qui, dans le cas présent, se réduisent à :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,f}{\partial\,u^{i}}-\dfrac{\text{d}}{\text{d}\,s}\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,u'^{i}}=0$

(5.57)

La relation (5.56) nous donne pour expression de l'équation d'Euler :

$\displaystyle \dfrac{d}{\text{d}\,s}(g_{ij}\,u'^{j})-\dfrac{1}{2}\,\partial_{i}... ...{j}+(\partial_{k}\,g_{ij}-\dfrac{1}{2}\,\partial_{i}\,g_{jk})\,u'^{j}\,u'^{k}=0$

(5.58)

Après développement des dérivées et utilisation de l'expression des symboles de Christoffel de première espèce, on obtient :

$\displaystyle g_{ij}\,\dfrac{\text{d}\,u'^{j}}{\text{d}\,s}+\textrm{$\Gamma_{jik}$}\,u'^{j}\,u'^{k}=0$

(5.59)

La multiplication contractée de la relation précédente par $g^{il}$ nous donne, avec $g_{ij}\,g^{il}=\delta_{jl}$ et $g^{il}\,\textrm{$\Gamma_{jik}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{k}$}$ :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}^{2}\,u^{l}}{\text{d}\,s^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{... ...}\,\dfrac{\text{d}\,u^{j}}{\text{d}\,s}\,\dfrac{\text{d}\,u^{k}}{\text{d}\,s}=0$

(5.60)

On obtient le système d'équations qui définissent les géodésiques, c'est-à-dire les droites de $\varepsilon_{n}$ . Ces dernières constituent donc les extrémales de l'intégrale qui mesure la longueur d'un arc de courbe joignant deux points donnés dans $\varepsilon_{n}$ .

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