Différentielle absolue

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Différentielle absolue

Différentielle absolue d'un vecteur

Composantes contravariantes - La formule (5.68) donne l'expression des composantes covariantes de la différentielle absolue d'un vecteur. Si d $\,u_{l}$ sont les composantes covariantes d'un vecteur d $\,\mathbf{U}$ , ses composantes contravariantes sont données par : d $\,u^{k}=g^{kl}\,$ d $\,u_{l}$ . Effectuons ce calcul dans l'autre sens ; partons de l'expression à priori de d $\,u^{k}$ et montrons que l'on retrouve l'expression (5.68) des composantes covariantes. Pour cela, effectuons la multiplication contractée de la dérivée covariante d'un vecteur $\nabla_{j}\,u^{k}$ par la différentielle d $\,y^{k}$ ; on obtient la somme suivante :

d $\displaystyle \,u^{k}=\nabla_{j}\,u^{k}\,$ d $\displaystyle \,y^{j}=(\partial_{j}\,u^{k}+u^{i}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{j}$})\,$ d $\displaystyle \,y^{j}$

(5.101)

qui est appelée la différentielle absolue de la composante contravariante $u^{k}$ du vecteur $\mathbf{U}$ .

Les différentielles d $\,y^{j}$ étant les composantes contravariantes d'un vecteur quelconque d $\,\mathbf{M}$ et les quantités $\nabla_{j}\,u^{k}$ , les composantes d'un tenseur d'ordre deux, les produits contractés d $\,u^{k}$ sont donc les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre un. Ce dernier est la différentielle absolue du vecteur $\mathbf{U}$ et son expression sur un repère naturel $(M,\mathbf{e_{i}})$ est :

d $\displaystyle \,\mathbf{U}=$ d $\displaystyle \,u^{k}\,\mathbf{e_{k}}=(\partial_{j}\,u^{k}+u^{i}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{j}$})\,$ d $\displaystyle \,y^{j}\,\mathbf{e_{k}}$

(5.102)

Propriétés de la différentielle absolue - L'expression (5.102) fait apparaître la différentielle ordinaire de la composante $u^{k}$ , soit :

$\displaystyle \partial_{j}\,u^{k}\,$ d $\displaystyle \,y^{j}=$ d $\displaystyle \,u^{k}$

(5.103)

ainsi que la différentielle d $\,\mathbf{e_{i}}$ ; on a en effet selon la relation (5.14) :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{j}$}\,$ d $\displaystyle \,y^{j}\,\mathbf{e_{k}}=$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}$

(5.104)

La différentielle absolue peut donc s'écrire :

d $\displaystyle \,\mathbf{U}=$ d $\displaystyle \,u^{k}\,\mathbf{e_{k}}+u^{k}\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{k}}$

(5.105)

Le premier terme d $\,u^{k}\,\mathbf{e_{k}}$ représente la différentielle classique d'un vecteur dans un repère fixe. Le second terme $u^{k}\,$ d $\,\mathbf{e_{k}}$ résulte de la variation des repères lorsqu'on passe d'un point à un autre et du mode de comparaison, par translation, entre vecteurs.

Contraction - La différentiation absolue est permutable avec la contraction des indices. Pour le montrer, considérons l'exemple du tenseur $u^{r}_{st}$ pour lequel on a la propriété (5.96) de permutation de la dérivation covariante et de la contraction, à savoir :

$\displaystyle \delta^{t}_{r}(\nabla_{k}\,u^{r}_{st})=\nabla_{k}\,(\delta^{t}_{r}\,u^{r}_{st})$

(5.106)

Ces quantités sont les dérivées covariantes des composantes $u^{r}_{st}=\delta^{t}_{r}\,u^{r}_{st}$ ; la multiplication contractée de ces quantités par d $\,y^{k}$ donne les différentielles absolues des composantes $u^{r}_{sr}$ , soit :

$\displaystyle \delta^{t}_{r}($ d $\displaystyle \,u^{r}_{st})=$ d $\displaystyle \,(\delta^{t}_{r}\,u^{r}_{st})$

(5.107)

ce qui montre que la différentiation absolue est permutable avec la contraction des indices.

La dérivée covariante d'un produit contracté nous a donné la relation (5.97), à savoir :

$\displaystyle \nabla_{r}\,(u^{ij}_{k}\,v_{mi})=(\nabla_{r}\,u^{ij}_{k})\,v_{mi}+u^{ij}_{k}\,(\nabla_{r}\,v_{mi})$

(5.108)

La multiplication contractée de ces quantités par d $\,y^{r}$ donne les différentielles absolues des composantes $u^{ij}_{k}\,v_{mi}$ , soit :

d $\displaystyle \,(u^{ij}_{k}\,v_{mi})=($ d $\displaystyle \,u^{ij}_{k})\,v_{mi}+u^{ij}_{k}\,($ d $\displaystyle \,v_{mi})$

(5.109)

ce qui montre que la formule de différentiation absolue du produit tensoriel s'étend à un produit contracté.

Composantes covariantes - La règle de différentiation absolue (5.105) est valable quelque soit le système donné de coordonnées curvilignes. En particulier, l'expression du vecteur $\mathbf{U}$ sur la base réciproque $\mathbf{e^{i}}$ s'écrit :

$\displaystyle \mathbf{U}=u_{k}\,\mathbf{e^{k}}$

(5.110)

où les quantités $u_{k}$ sont les composantes contravariantes de $\mathbf{U}$ dans cette base. Par suite, la relation (5.105) donne pour expression de la différentielle absolue :

d $\displaystyle \,\mathbf{U}=$ d $\displaystyle \,u_{k}\,\mathbf{e^{k}}+u_{j}\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e^{j}}$

(5.111)

Compte tenu de l'expression de la différentielle d $\,\mathbf{e^{k}}$ donnée par (5.51), à savoir :

d $\displaystyle \,\mathbf{e^{j}}=-w^{j}_{k}\,\mathbf{e^{k}}$

(5.112)

On obtient pour la différentielle absolue du vecteur $\mathbf{U}$ :

d $\displaystyle \,\mathbf{U}=($ d $\displaystyle \,u_{k}-u_{j}\,w^{j}_{k})\,\mathbf{e^{k}}$

(5.113)

Les quantités d $\,u_{k}=($ d $\,u_{k}-u_{j}\,w^{j}_{k})$ constituent les composantes covariantes, par rapport à la base $\mathbf{e_{i}}$ , de la différentielle absolue du vecteur $\mathbf{U}$ . On retrouve la formule (5.68) en développant la différentielle d $\,u^{k}$ et en introduisant les symboles de Christoffel à la place des $w^{j}_{k}$ .

Dérivée absolue le long d'une courbe

La notion de différentielle absolue d $\,u^{k}$ de la composante d'un vecteur conduit à définir la dérivée absolue d'un vecteur le long d'une courbe. Considérons pour cela une courbe $\Gamma(t)$ , de paramètre , de l'espace $\varepsilon_{n}$ et un champ de vecteurs quelconque $\mathbf{U}$ défini en chaque point de $\varepsilon_{n}$ . Pour une variation élémentaire du paramètre , on passe, le long de la courbe $\Gamma(t)$ , d'un point à un point infiniment voisin.

La notion de dérivée d'un vecteur le long d'une courbe se généralise en introduisant le tenseur suivant :

$\displaystyle \dfrac{\text{D}\,u^{k}}{\text{d}\,t}=\dfrac{\text{d}\,u^{k}}{\tex... ...ma^{}_{r}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{s}$}\,u^{r}\,\dfrac{\text{d}\,y^{s}}{\text{d}\,t}$

(5.114)

Cette dérivée est appelée la dérivée absolue de la composante $u^{k}$ le long de la courbe $\Gamma(t)$ .

Pour un système de coordonnées cartésiennes, tous les symboles de Christoffel sont nuls et la dérivée absolue coïncide avec la dérivée ordinaire. On a les mêmes propriétés pour les dérivées absolues que pour les différentielles absolues.

Exemple : Vecteur accélération - Considérons le cas d'un point mobile , fonction du temps dans l'espace ponctuel $\varepsilon_{n}$ . Les coordonnées curvilignes de ce point sont des fonctions du temps $y^{i}(t)$ . Par rapport à un repère fixe auquel on rapporte $\varepsilon_{n}$ , le vecteur d $\,\mathbf{M}/$ d $\,t$ peut être considéré comme vecteur vitesse de , soit : $\mathbf{v}=$ d $\,\mathbf{M}/$ d $\,t$ dont les composantes contravariantes, par rapport au repère naturel $(M,\mathbf{e_{i}})$ , sont :

$\displaystyle v^{i}=\dfrac{\text{d}\,y^{i}}{\text{d}\,t}$

(5.115)

L'accélération est, pour un système de coordonnées cartésiennes, égale à la dérivée du vecteur prise le long de la courbe suivie par le point mobile. On prendra alors, pour un système de coordonnées curvilignes, l'accélération égale, par définition, à la dérivée absolue du vecteur $\mathbf{v}$ prise le long de la trajectoire.

Par suite, les composantes contravariantes $a^{k}$ de l'accélération $\mathbf{a}$ sont :

$\displaystyle a^{k}=\dfrac{\text{D}\,v^{k}}{\text{d}\,t}=\dfrac{\text{d}\,v^{k}... ...ma^{}_{r}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{s}$}\,v^{r}\,\dfrac{\text{d}\,y^{s}}{\text{d}\,t}$

(5.116)

Remplaçons $v^{k}$ par d $\,y^{k}/$ d $\,t$ , on obtient l'expression des composantes contravariantes de $\mathbf{a}$ sous la forme :

$\displaystyle a^{k}=\dfrac{d^{2}\,y^{k}}{\text{d}\,t^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{r... ...}$}\,\dfrac{\text{d}\,y^{r}}{\text{d}\,t}\,\dfrac{\text{d}\,y^{s}}{\text{d}\,t}$

(5.117)

Si $a^{k}=0$ , la courbe parcourue par un mobile est une droite et l'on retrouve alors l'équation des géodésiques.

Différentielle absolue d'un tenseur

Différentielle absolue des composantes d'un tenseur - Effectuons le produit contracté de la dérivée covariante $\nabla_{k}\,u^{r}_{st}$ par la différentielle d $\,y^{k}$ ; on obtient les composantes mixtes, notées d $\,u^{r}_{st}$ , d'un tenseur d'ordre trois, soit :

d $\displaystyle \,u^{r}_{st}=\nabla_{k}\,u^{r}_{st}\,$ d $\displaystyle \,y^{k}$

(5.118)

Ces composantes d $\,u^{r}_{st}$ sont appelées les différentielles absolues des composantes $u^{r}_{st}$ du tenseur $\mathbf{U}$ .

Remplaçons les dérivées covariantes des composantes par leur expression (5.94) ; on obtient :

d $\displaystyle \,u^{r}_{st}=(\partial_{k}\,u^{r}_{st}+u^{i}_{st}\,\textrm{$\Gamm... ...$^{i}$$^{}_{s}$}-u^{r}_{si}\,\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{t}$})\,$ d $\displaystyle \,y^{k}$

(5.119)

Remarquons que la notation d $\,u^{r}_{st}$ serait plus précise si elle était notée d $\,u)^{r}_{st}$ puisque les indices désignent à présent les composantes d'un nouveau tenseur différent du tenseur $u^{r}_{st}$ .

Différentielle absolue d'un tenseur - Le tenseur ayant pour composantes les quantités d $\,u^{r}_{st}$ est appelé la différentielle absolue du tenseur $\mathbf{U}$ et est noté d $\,\mathbf{U}$ . Ce tenseur, d'ordre trois, se décompose sur une base sous la forme :

d $\displaystyle \,\mathbf{U}=$ d $\displaystyle \,u^{r}_{st}\,\mathbf{e_{r}}\,\otimes\,\mathbf{e^{s}}\,\otimes\,\mathbf{e^{t}}$

(5.120)

Par suite de la linéarité de la dérivée covariante d'un tenseur, on a les propriétés suivantes pour la différentielle absolue :

d $\displaystyle \,(\mathbf{U}+\mathbf{V})=$ d $\displaystyle \,\mathbf{U}+$ d $\displaystyle \,\mathbf{V}\,\,\,;\,\,\,$ d $\displaystyle \,(\lambda\,\mathbf{U})=\lambda\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{U}$

(5.121)

Différentielle absolue d'un produit tensoriel - Considérons le produit tensoriel $\mathbf{W}=\mathbf{U}\,\otimes\,\mathbf{V}$ de composantes mixtes $w^{r}_{st}=u^{r}_{s}\,v_{t}$ . La propriété (5.93) de la dérivée covariante des composantes d'un tenseur donne également pour la différentiation absolue des composantes :

d $\displaystyle \,(u^{r}_{s}\,v_{t})=v_{t}\,$ d $\displaystyle \,u^{r}_{s}+u^{r}_{s}\,$ d $\displaystyle \,v_{t}$

(5.122)

Les quantités d $\,(u^{r}_{s}\,v_{t})$ sont les composantes mixtes d'un tenseur d'ordre trois ; ce tenseur est la différentielle absolue d $\,(\mathbf{U}\,\otimes\,\mathbf{V})$ qui s'écrit :

d $\displaystyle \,(\mathbf{U}\,\otimes\,\mathbf{V})=($ d $\displaystyle \,u^{r}_{s})\,v_{t}\,\mathbf{e_{r}}\,\otimes\,\mathbf{e^{s}}\,\otimes\,\mathbf{e^{t}}+u^{r}_{s}\,($ d $\displaystyle \,v_{t})\,\mathbf{e_{r}}\,\otimes\,\mathbf{e^{s}}\,\otimes\,\mathbf{e^{t}}$

(5.123)

Cette dernière relation fait apparaître la somme de produits tensoriels suivants :

d $\displaystyle \,(\mathbf{U}\,\otimes\,\mathbf{V})=($ d $\displaystyle \,u^{r}_{s}\,\mathbf{e_{r}}\,\otimes\,\mathbf{e^{s}})\,\otimes\,(... ...mathbf{e^{t}})+(u^{r}_{s}\,\mathbf{e_{r}}\,\otimes\,\mathbf{e^{s}})\,\otimes\,($ d $\displaystyle \,v_{t}\,\mathbf{e^{t}})$

(5.124)

On obtient finalement la règle suivante donnant la différentielle absolue du produit tensoriel :

d $\displaystyle \,(\mathbf{U}\,\otimes\,\mathbf{V})=$ d $\displaystyle \,\mathbf{U}\,\otimes\,\mathbf{V}+\mathbf{U}\,\otimes\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{V}$

(5.125)

Cette formule se généralise aisément pour des produits tensoriels quelconques ainsi que pour des sommes de produits tensoriels.

Considérons un tenseur d'ordre deux tel que $\mathbf{U}=u^{ij}\,(\mathbf{e_{i}}\,\otimes\,\mathbf{e_{j}})$ ; il peut être écrit comme la somme des produits tensoriels suivants :

$\displaystyle \mathbf{U}=(u^{ij}\,\mathbf{e_{i}})\,\otimes\,\mathbf{e_{j}}$

(5.126)

Compte tenu des relations (5.125) et (5.121), la différentielle absolue de ce tenseur s'écrit :

d $\displaystyle \,\mathbf{U}=($ d $\displaystyle \,u^{ij}\,\mathbf{e_{i}})\,\otimes\,\mathbf{e_{j}}+(u^{ij}\,\mathbf{e_{i}})\,\otimes\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{j}}$

(5.127)

Utilisant la règle (5.105) de différentiation absolue des vecteurs, on obtient :

d $\displaystyle \,\mathbf{U}=$ d $\displaystyle \,(u^{ij}\,\mathbf{e_{i}}\,\otimes\,\mathbf{e_{j}})=$ d $\displaystyle \,u^{ij}\,\mathbf{e_{i}}\,\otimes\,\mathbf{e_{j}}+u^{ij}\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}\,\otimes\,\mathbf{e_{j}}+u^{ij}\,\mathbf{e_{i}}\,\otimes\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{j}}$

(5.128)

La formule précédente se généralise pour des tenseurs d'ordre quelconque en remarquant que tout tenseur peut s'écrire comme une somme de produits tensoriels et en itérant la formule (5.105) pour des produits tensoriels formés par un nombre quelconque de tenseurs.

Théorème de Ricci

La différentiation des composantes du tenseur fondamental $g_{ij}=\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}$ , nous donne :

d $\displaystyle \,g_{ij}=\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{j}}+$ d $\displaystyle \,\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}=\mathbf{e_{i}}\,\cdot\,w^{k}_{j}\,\mathbf{e_{k}}+w^{k}_{i}\,\mathbf{e_{k}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}$

(5.129)

d'où l'identité :

d $\displaystyle \,g_{ij}=g_{ik}\,w^{k}_{j}+g_{jk}\,w^{k}_{i}$

(5.130)

Explicitant les composantes $w^{k}_{j}$ en fonction des symboles de Christoffel, il vient :

d $\displaystyle \,g_{ij}=\partial_{h}\,g_{ij}\,$ d $\displaystyle \,y^{h}=g_{ik}\,\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{h}$}\,$ d $\displaystyle \,y^{h}+g_{jk}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{h}$}\,$ d $\displaystyle \,y^{h}$

(5.131)

Identifiant les coefficients des différentielles d $\,y^{h}$ , on obtient :

$\displaystyle \partial_{h}\,g_{ij}=g_{ik}\,\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{h}$}+g_{jk}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{h}$}$

(5.132)

Les relations (5.132) constituent les identités de Ricci. Formons la différentielle absolue des composantes $g_{ij}$ en utilisant la formule (5.118) et (5.119), soit :

d $\displaystyle \,g_{ij}=$ d $\displaystyle \,g_{ij}-w^{k}_{j}\,g_{ik}-w^{k}_{i}\,g_{jk}$

(5.133)

La comparaison de cette dernière relation avec la formule (5.130) montre que l'on a :

d $\displaystyle \,g_{ij}=0$

(5.134)

La différentielle absolue des composantes du tenseur fondamental est nulle : c'est le théorème de Ricci.

Symboles de Christoffel contractés

On va utiliser le théorème de Ricci pour calculer l'expression des symboles de Christoffel contractés $\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}$ en fonction des $g_{ij}$ . Dans ce but, utilisons la formule générale donnant les composantes covariantes de la dérivée covariante du tenseur d'ordre deux $g_{ij}$ et écrivons que cette dérivée est nulle selon le théorème de Ricci :

$\displaystyle \nabla_{k}\,g_{ij}=\partial_{k}\,g_{ij}-\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^... ...l}$$^{}_{k}$}\,g_{lj}-\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{k}$}\,g_{il}=0$

(5.135)

Effectuons la multiplication contractée de cette expression par $g^{ij}$ , il vient en utilisant les relations $g^{ij}\,g_{jl}=\delta^{l}_{i}$ :

$\displaystyle g^{ij}\,\partial_{k}\,g_{ij}-\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{l}... ...delta^{l}_{i}-\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{k}$}\,\delta^{j}_{l}=0$

(5.136)

d'où la relation :

$\displaystyle g^{ij}\,\partial_{k}\,g_{ij}-\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}-\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{k}$}=0$

(5.137)

Les quantités $\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}$ et $\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{k}$}$ représentant les mêmes sommes, par rapport aux indices muets ou , la relation précédente nous donne :

$\displaystyle g^{ij}\,\partial_{k}\,g_{ij}=2\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}$

(5.138)

Soit le déterminant des quantités $g_{ij}$ . La dérivation du déterminant nous donne :

$\displaystyle \partial_{k}\,g=g\,g_{ij}\,\partial_{k}\,g_{ij}$

(5.139)

Les relations (5.138) et (5.139) nous donnent alors l'expression des symboles contractés de Christoffel sous la forme :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}=\dfrac{1}{2\,g}\,\partial_{k}\,g=\dfrac{1}{\sqrt{\vert g\vert}}\,\partial_{k}\,\sqrt{\vert g\vert}$

(5.140)

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