Sous-sections
Considérons un champ de scalaire défini en chaque point d'un
espace ponctuel
 par une fonction
 des coordonnées curvilignes  .
Dérivées partielles - On va montrer que les dérivées
partielles
 d'un champ de scalaires sont les composantes
covariantes d'un vecteur. Pour cela, considérons un autre système de
coordonnées curvilignes  de
où ce
même champ de scalaires s'écrit :
 . La dérivation
partielle d'une fonction composée nous donne :
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(5.141) |
Les relations (4.43) et (4.44) montrent que les
quantités
 se transforment comme les vecteurs de base
 du repère naturel de
. Les
dérivées
sont donc des quantités covariantes qui, pour
 , constituent les composantes d'un tenseur d'ordre un.
Définition du vecteur gradient - Ce tenseur d'ordre un est
appelé le vecteur gradient de  . On note ce vecteur
 et sa
décomposition sur la base réciproque est donnée par :
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(5.142) |
Les composantes covariantes du vecteur gradient sont notées
 , soit :
 |
(5.143) |
Ses composantes contravariantes
 sur la base
sont
données par :
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(5.144) |
Soit un champ de vecteurs
 de composantes covariantes  .
La dérivée covariante du vecteur
a pour composantes covariantes les
quantités données par la relation (5.71), à savoir :
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(5.145) |
Échangeant les indices de cette dernière relation et remarquant que les
symboles de Christoffel sont symétriques par rapport à leurs indices
inférieurs, on obtient :
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(5.146) |
Retranchons membre à membre les relations (5.145) et (5.146), il
vient :
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(5.147) |
Les quantités figurant dans cette dernière relation représentent donc les
composantes d'un nouveau tenseur appelé tenseur rotationnel du vecteur
. C'est un tenseur antisymétrique que l'on note
 et
l'on a :
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(5.148) |
Vecteur rotationnel - On a vu, au chapitre III, que parmi les
 composantes d'un tenseur antisymétrique d'ordre  , celui-ci
possède  composantes strictes. Pour un espace à trois dimensions,
et seulement dans ce cas, le nombres de composantes strictes est égal à la
dimension de l'espace.
Dans le cas d'un espace euclidien
 rapporté à un
système de coordonnées orthonormées, le vecteur formé à partir des
composantes strictes du tenseur
, et ayant pour composantes
:
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(5.149) |
constitue le vecteur rotationnel classique. C'est un exemple de vecteur adjoint
d'un tenseur.
Soit un champ de vecteur
dont la dérivée covariante est
 . Par contraction du tenseur
, on obtient
un scalaire
 appelé divergence du vecteur
. On
note la divergence :
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(5.150) |
L'expression développée de la dérivée covariante :
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(5.151) |
donne pour expression de la divergence :
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(5.152) |
L'expression du symbole de Christoffel contracté
 ,
donnée par la relation (5.140), permet d'écrire la divergence sous la
forme :
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(5.153) |
Cette dernière expression peut être transformée en utilisant la relation
suivante entre deux quantités différentiables  et  :
et en posant :
 ,  ; on obtient :
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(5.155) |
Pour un système de coordonnées orthonormées,  , on retrouve
l'expression classique de la divergence :
 .
On appelle laplacien d'un champ de scalaire défini par une fonction
à valeurs
scalaires, l'expression :
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(5.156) |
L'expression du laplacien s'obtient à partir de la définition (5.150) de la divergence et des composantes
contravariantes du gradient
 , on a :
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(5.157) |
La propriété de permutation de la dérivée covariante avec le changement de variance par multiplication par
 et sommation, nous donne :
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(5.158) |
Les quantités
 sont les composantes covariantes de la dérivée covariante du vecteur
; elles sont données par la relation (5.71), soit :
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(5.159) |
d'où l'expression du laplacien :
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(5.160) |
On obtient également une expression du laplacien en reportant les composantes contravariantes de
dans la
relation (5.155), soit :
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(5.161) |
Pour un système de coordonnées orthonormées,
 , on retrouve l'expression classique du laplacien :
 .
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d
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