Analyse tensorielle - Exercices résolus

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Table des matières

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Exercices résolus

Exercice 5.1

On considère deux systèmes de coordonnées curvilignes tels que :

$\displaystyle \bar{u}^{i}=\bar{u}^{i}(u^{1},u^{2},...,u^{n})\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{j}=u^{j}(\bar{u}^{1},\bar{u}^{2},...,\bar{u}^{n})$

Soient $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}$ et $\textrm{$\bar{\Gamma}_{h}$$^{}_{}$$^{m}$$^{}_{l}$}$ les symboles de Christoffel relatifs respectivement aux coordonnées $u^{i}$ et $\bar{u}^{k}$ . Démontrer qu'on a la relation suivante :
$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=\partial_{i}\,\ba... ...a}_{h}$$^{}_{}$$^{m}$$^{}_{l}$}+\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,\bar{u}^{l}$
Dans le cas où les coordonnées $\bar{u}^{i}$ sont rectilignes, démontrer que la formule précédente se réduit à :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,\bar{u}^{l}$

Solutions

La démonstration de la formule de transformation des symboles de Christoffel aboutit à l'équation (5.47) :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=A'^{l}_{i}\,A^{j}... ...extrm{$\Gamma'_{h}$$^{}_{}$$^{m}$$^{}_{l}$}+A^{j}_{l}\,\partial_{k}\,A'^{l}_{i}$

Remplaçant les quantités et par les expressions (4.45), soit :

$\displaystyle (a)\,\,\,\,A'^{k}_{i}=\partial_{i}\,\bar{u}^{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,A^{i}_{k}=\partial_{k}\,u^{i}$

On obtient l'expression demandée :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=\partial_{i}\,\ba... ...a}_{h}$$^{}_{}$$^{m}$$^{}_{l}$}+\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,\bar{u}^{l}$
Si les coordonnées $\bar{u}^{i}$ sont rectilignes - c'est le cas des coordonnées cartésiennes, par exemple - on a : d $\,\mathbf{e_{i}}=0$ et tous les symboles de Christoffel $\textrm{$\bar{\Gamma}_{h}$$^{}_{}$$^{m}$$^{}_{l}$}$ sont nuls. On obtient alors la formule simplifiée :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,\bar{u}^{l}$

On considère dans un plan, un système de coordonnées cartésiennes, $x^{1}$ , $x^{2}$ , et un système de coordonnées curvilignes $u^{1}$ , $u^{2}$ définies par : $x^{1}=u^{1}\,$ cos $\,u^{2}$ ; $x^{2}=u^{1}\,$ sin $\,u^{2}$ (coordonnées polaires). Les composantes covariantes $g_{ij}$ du tenseur métrique ont été calculées au cours de l'exercice (4.2), soit :

$\displaystyle g_{11}=1\,\,\,;\,\,\,g_{12}=g_{21}=0\,\,\,;\,\,\,g_{22}=(u^{1})^{2}$

Déterminer les composantes contravriantes $g^{ij}$ du tenseur métrique.
Rappeler les formules permettant le calcul des symboles de Christoffel de première et seconde espèces à partir des $g_{ij}$
Calculer ces symboles pour les coordonnées polaires en utilisant ces formules.
Calculer les symboles de Christoffel de deuxième espèce à partir de la formule établie dans l'exercice (5.1) : $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,\bar{u}^{l}$ avec $\bar{u}^{l}=x^{l}$ .

Solutions

Pour des coordonnées orthogonales, on a : $g^{ii}=1/g_{ii}$ , d'où :

$\displaystyle g^{11}=1\,\,\,;\,\,\,g^{12}=g^{21}=0\,\,\,;\,\,\,g^{22}=1/(u^{1})^{2}$
Les symboles de Christoffel de première espèce sont donnés par la formule (5.38) :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{kji}$}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{i}\,g_{jk}-\partial_{j}\,g_{ki})$

Les symboles de deuxième espèce sont liées aux précédents, selon (5.39), par :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=g^{il}\,\textrm{$... ...1}{2}\,g^{il}\,(\partial_{k}\,g_{jl}+\partial_{j}\,g_{lk}-\partial_{l}\,g_{kj})$
Les dérivées partielles $\partial_{k}\,g_{ij}$ sont nulles pour $i\,\neq\,j$ et . Il reste à calculer :

$\displaystyle \partial_{1}\,g_{22}=\partial_{1}\,(u^{1})^{2}=2\,u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{2}\,g_{22}=\partial_{2}\,(u^{1})^{2}=0$

Les symboles de première espèce $\textrm{$\Gamma_{kji}$}$ non nuls sont tels que :

$\displaystyle k,i,j=1,2,2\,\,\,\,;\,\,\,\,i,j,k=1,2,2\,\,\,\,;\,\,\,\,j,k,i=1,2,2$

d'où :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{122}$}=u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma_{221}$}=u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma_{212}$}=-u^{1}$

Les symboles de deuxième espèce sont :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{1}$}=0\,\,\,\,$ $\displaystyle \,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{2}$}=0\,\,\,\,... ..._{1}$}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{2}$}=-u^{1}$

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{1}$}=0\,\,\,\,$ $\displaystyle \,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{2}$}=1/u^{1}\,... ...{1}$}=1/u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{2}$}=0$
Le calcul direct des symboles de Christoffel de deuxième espèce nécessite l'expression des coordonnées $u^{i}$ en fonction des $x^{j}$ . On a :

$\displaystyle u^{1}=\sqrt{(x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}}\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{2}=$ arctan $\displaystyle \,(x^{2}/x^{1})$

Le calcul des dérivées premières partielles des fonctions $u^{i}\,(x^{1},x^{2})$ nous donne :

$\displaystyle \partial_{1}\,u^{1}=x^{1}/u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{2}\,u^{... ...,u^{2}=-x^{2}/(u^{1})^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{2}\,u^{2}=x^{1}/(u^{1})^{2}$

Le calcul des dérivées premières partielles des fonctions $x^{j}\,(u^{1},u^{2})$ nous donne :

$\displaystyle \partial_{11}\,x^{1}=0\,\,\,\,$ $\displaystyle \,\,\,\,\partial_{12}\,x^{1}=-$ sin $\displaystyle \,u^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{22}\,x^{1}=-u^{1}\,$ cos $\displaystyle \,u^{2}$

$\displaystyle \partial_{11}\,x^{2}=0\,\,\,\,$ $\displaystyle \,\,\,\,\partial_{12}\,x^{2}=$ cos $\displaystyle \,u^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{22}\,x^{2}=-u^{1}\,$ sin $\displaystyle \,u^{2}$

L'utilisation de la formule $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,x^{l}$ permet de retrouver les valeurs calculées précédemment. On a, par exemple :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{1}$}=$ $\displaystyle \,\,\partial_{1}\,u^{1}\,\partial_{11}\,x^{1}+\partial_{2}\,u^{1}\,\partial_{11}\,x^{2}=0$

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{2}$}=$ $\displaystyle \,\,\partial_{1}\,u^{1}\,\partial_{22}\,x^{1}+\partial_{2}\,u^{1}\,\partial_{22}\,x^{2}=-u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,$ etc.

Exercice 5.3

Les composantes covariantes du tenseur métrique, en coordonnées sphériques $r,\theta,\varphi$ , sont :

$\displaystyle g_{11}=1\,\,\,;\,\,\,g_{22}=r^{2}\,\,\,;\,\,\,g_{33}=r^{2}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\theta\,\,\,;\,\,\,g_{ij}=0\,\,\,\,$ si $\displaystyle \,\,\,i\,\neq\,j$

Les coordonnées sphériques sont définies par :

$\displaystyle x=r\,$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\varphi\,\,\,;\,\,\,x=r\,$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ sin $\displaystyle \,\varphi\,\,\,;\,\,\,z=r\,$ cos $\displaystyle \,\theta$

Calculer les symboles de Christoffel de première espèce en coordonnées sphériques.
Calculer ceux de deuxième espèce.

Solutions

Les symboles de première espèce sont donnés par (5.38), soit :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{kji}$}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{i}\,g_{jk}-\partial_{j}\,g_{ki})$

Notons les coordonnées $u^{1}=r$ , $u^{2}=\theta$ , $u^{3}=\varphi$ ; les dérivées partielles non nulles sont les suivantes :

$\displaystyle \partial_{1}\,g_{22}=2\,r\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{1}\,g_{33}=2\,r\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{2}\,g_{33}=2\,r^{2}\,$ cos $\displaystyle \,\theta\,$ sin $\displaystyle \,\theta$

L'application de la formule (5.38) nous donne neuf symboles de Christoffel non nuls, à savoir :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{212}$}=$ $\displaystyle -r\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma_{323}$}=-r^{2}\,$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma_{313}$}=-r\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\theta$

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{122}$}=$ $\displaystyle \textrm{$\Gamma_{221}$}=r\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma_{133}$}=\textrm{$\Gamma_{331}$}=r\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma_{332}$}=\textrm{$\Gamma_{233}$}=r^{2}\,$ cos $\displaystyle \,\theta\,$ sin $\displaystyle \,\theta$
La relation (5.39) : $\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=g^{il}\,\textrm{$\Gamma_{klj}$}$ , permet la détermination des symboles de Christoffel de deuxième espèce ; on obtient neuf symboles non nuls :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{2}$}=$ $\displaystyle -r\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{1}$... ...3}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{1}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}=1/r$

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{3}$}=$ $\displaystyle -r\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{3}$}=-$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{2}$}=$ cotan $\displaystyle \,\theta$

Exercice 5.4

Lorsque la matrice du tenseur est symétrique est diagonale ( $g_{ij}=0$ si $i\,\neq\,j$ ), montrer que pour des indices donnés (c'est-à-dire pour des symboles où la présence de deux indices identiques n'indique pas de sommation), on a pour les symboles de Christoffel de seconde espèce :

$\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{i}$}=(1/2)\,\partial_{j}\,$ ln $\vert g_{ii}\vert$
$\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=-(1/2\,g_{ii})\,\partial_{i}\,g_{jj}\,\,\,$ ; avec $i\,\neq\,j$
Tous les autres symboles $\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}$ sont nuls.

Solutions

On suppose que tous les $g_{ii}$ sont non nuls et l'on a : $g_{ii}^{-1}=g^{ii}$ ; il vient pour et donnés (pas de sommation sur et ) :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=g^{ik}\,\textrm{$... ...}}\,\bigg(\dfrac{1}{2}\,\partial_{j}\,g_{ii}\bigg)=\dfrac{1}{2}\,\partial_{j}\,$ ln $\displaystyle \vert g_{ii}\vert$
On obtient de même, pour et donnés et $i\,\neq\,j$ :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=g^{ik}\,\textrm{$... ...amma_{jij}$}=\dfrac{1}{g_{ii}}\,\bigg(-\dfrac{1}{2}\,\partial_{i}\,g_{jj}\bigg)$
Lorsque tous les termes $g_{ij}$ sont nuls pour $i\,\neq\,j$ , alors toutes les dérivées de ces $g_{ij}$ sont nulles et l'on a :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{j}$}=g^{jp}\,\textrm{$... ...{g^{jj}}{2}\,(\partial_{i}\,g_{jk}+\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{j}\,g_{ik})=0$

Exercice 5.5

En utilisant les résultats de l'exercice (5.4), calculer les symboles de Christoffel de seconde espèce en coordonnées sphériques $u^{1},u^{2},u^{3}$ .

Solutions

Les composantes covariantes du tenseur fondamental en coordonnées sphériques $u^{1},u^{2},u^{3}$ sont :

$\displaystyle g_{11}=1\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{22}=(u^{1})^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{33}=(u^{1})^{2}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,u^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{ij}=0\,\,\,\,$ si $\displaystyle \,\,\,\,i\,\neq\,j$

On est donc bien dans le cas d'une matrice diagonale du tenseur métrique. Utilisant les formules de l'exercice (5.4), soit :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{i}$}=(1/2)\,\partial_{j}\,$ ln $\displaystyle \vert g_{ii}\vert$

on obtient les valeurs des symboles de Christoffel non nuls :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{1}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{2}$}=(1/2)\,\partial_{1}\,$ ln $\displaystyle \,(u^{1})^{2}=\dfrac{1}{u^{1}}\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}... ...}_{3}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{2}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}=$ cotan $\displaystyle \,u^{2}$

La formule suivante : $\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=-(1/2\,g_{ii})\,\partial_{i}\,g_{jj}$ , nous donne les valeurs non nulles suivantes :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{2}$}=-(1/2)\,\partial_... ...-u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{3}$}=-u^{1}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,u^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{3}$}=-$ sin $\displaystyle \,u^{2}\,$ cos $\displaystyle \,u^{2}$

On obtient neuf symboles de Christoffel de seconde espèce non nuls ; les 18 autres sont nuls.

Exercice 5.6

Une particule se déplace le long d'une trajectoire définie en coordonnées sphériques $r,\theta,\varphi$ .
Déterminer les composantes contravariantes $a^{k}$ de l'accélération $\mathbf{a}$ de cette particule pour les trajectoires suivantes.

La trajectoire est définie par : , $\theta=\omega\,t$ , $\varphi=\pi/4$ ; est le temps.
La trajectoire est définie par : , $\theta=\pi/4$ , $\varphi=\omega\,t$ . Calculer la norme de l'accélération et montrer qu'on retrouve la formule classique : $\vert\vert\mathbf{a}\vert\vert=r\,\omega^{2}$ .

Solutions

Déterminons les valeurs des symboles de Christoffel le long de la trajectoire ; on a, pour , $\theta=\omega\,t$ , $\varphi=\pi/4$ :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{1}$}$ $\displaystyle =\textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{2}$}=\dfrac{1}{u^{1}}... ...}_{3}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{2}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}=$ cotan $\displaystyle \,\omega\,t$

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{2}$}$ $\displaystyle =-u^{1}=-c\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{3}$}=-c\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\omega\,t\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{3}$}=-$ sin $\displaystyle \,\omega\,t\,$ cos $\displaystyle \,\omega\,t$

Les composantes contravariantes de l'accélération sont les suivantes :

$\displaystyle a^{1}=\dfrac{d^{2}\,u^{1}}{\text{d}\,t^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{i... ...$^{}_{3}$}\,\bigg(\dfrac{\text{d}\,u^{3}}{\text{d}\,t}\bigg)^{2}=-c\,\omega^{2}$

$\displaystyle a^{2}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,a^{3}=0$

On retrouve l'expression classique de l'accélération d'une particule effectuant une trajectoire circulaire à vitesse constante.
Symboles de Christoffel le long de la trajectoire :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{1}$}$ $\displaystyle =\textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{2}$}=\dfrac{1}{u^{1}}... ...}_{3}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{2}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}=$ cotan $\displaystyle \,\pi/4=1$

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{2}$}$ $\displaystyle =-u^{1}=-c\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{3}$}=-c\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\pi/4=-(c/2)\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{3}$}=-(1/2)$

Les composantes contravariantes de l'accélération sont les suivantes :

$\displaystyle a^{1}$ $\displaystyle =\dfrac{d^{2}\,u^{1}}{\text{d}\,t^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{... ...,\bigg(\dfrac{\text{d}\,u^{3}}{\text{d}\,t}\bigg)^{2}=-\dfrac{c\,\omega^{2}}{2}$

$\displaystyle a^{2}$ $\displaystyle =0+2\,\textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{2}$}\,\,\dfrac{\... ...}\,u^{3}}{\text{d}\,t}\bigg)^{2}=-\dfrac{\omega^{2}}{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,a^{3}=0$

Les composantes covariantes du tenseur fondamental le long de la trajectoire sont :

$\displaystyle g_{11}=1\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{22}=c^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{33}=c^{2}/2\,\,\,\,$ d'où $\displaystyle \,\,\,\,\vert\vert\mathbf{a}\vert\vert=\sqrt{g_{ij}\,a^{i}\,a^{j}}=c\,\omega^{2}/\sqrt{2}$

Le rayon du cercle parcouru est : $r=c\,$ sin $\,(\pi/4)=c/\sqrt{2}$ d'où :

$\displaystyle \vert\vert\mathbf{a}\vert\vert=c\,\omega^{2}/\sqrt{2}=r\,\omega^{2}$

Exercice 5.7

Calculer l'expression de la divergence en coordonnées sphériques $r,\theta,\varphi$ :

Pour un champ de vecteurs $\mathbf{A}$ de composantes contravariantes $A^{i}$ dans le repère naturel.
Pour le même champ de vecteurs $\mathbf{A}$ de composantes $A_{r}$ , $A_{\theta}$ , $A_{\varphi}$ dans un repère naturel dont les vecteurs de base ont été normés.

Solutions

La divergence d'un champ de vecteurs est donnée par la formule (5.153) :

div $\displaystyle \,\mathbf{A}=\partial_{i}\,A^{i}+\dfrac{A^{i}}{\sqrt{\vert g\vert}}\,\partial_{i}\,\sqrt{\vert g\vert}$

Notons $r=x^{1}$ , $\theta=x^{2}$ , $\varphi=x^{2}$ ; on a : $g=(x^{1})^{4}\,$ sin $^{2}\,x^{2}$ .

Reportons dans la formule de la divergence, il vient :

div $\displaystyle \,\mathbf{A}=\partial_{1}\,A^{1}+\partial_{2}\,A^{2}+\partial_{3}\,A^{3}+\dfrac{2}{x^{1}}\,A^{1}+A^{2}\,$ cotan $\displaystyle \,x^{2}$
Les vecteurs de la base naturelle ont pour norme :

$\displaystyle \vert\vert\mathbf{e_{1}}=1\,\,\,\,;\,\,\,\,\vert\vert\mathbf{e_{2}}\vert\vert=r\,\,\,\,;\,\,\,\,\vert\vert\mathbf{e_{3}}\vert\vert=r\,$ sin $\displaystyle \,\theta$

Sur une base orthonormée, les composantes covariantes et contravariantes sont identiques. On a alors les relations :

$\displaystyle A_{r}=A^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,A_{\theta}=r\,A^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,A_{\varphi}=r\,$ sin $\displaystyle \,\theta\,A^{3}$

L'expression précédente de la divergence nous donne, en remplaçant les variables et les composantes par leur écriture traditionnelle :

div $\displaystyle \,\mathbf{A}=\dfrac{\partial\,A_{r}}{\partial\,r}+\dfrac{1}{r}\,\... ...rtial\,\varphi}+\dfrac{2}{r}\,A_{r}+\dfrac{\text{cotan}\,\theta}{r}\,A_{\theta}$

On retrouve l'expression classique de la divergence en coordonnées sphériques dont les vecteurs de la base naturelle ont été normés.

Exercice 5.8

Partant de l'expression (5.38) : $\textrm{$\Gamma_{kji}$}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{i}\,g_{jk}-\partial_{j}\,g_{ki})$ , démontrer la relation :

$\displaystyle \partial_{k}\,g_{ij}=\textrm{$\Gamma_{jik}$}+\textrm{$\Gamma_{kji}$}$
En utilisant le résultat précédent, démontrer la relation :

$\displaystyle \partial_{m}\,g^{lj}=-g^{li}\,\textrm{$\Gamma^{}_{m}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}-g^{jk}\,\textrm{$\Gamma^{}_{m}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{k}$}$

Solutions

La relation (5.38) nous donne :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{jik}$}+\textrm{$\Gamma_{kji}$}=\dfrac{1}{2}\,(\p... ...ial_{k}\,g_{ij}+\partial_{i}\,g_{jk}-\partial_{j}\,g_{ki})=\partial_{k}\,g_{ji}$
La relation (1.102) s'écrit :

$\displaystyle g_{ik}\,g^{kj}=\delta_{i}^{j}\,\,\,\,,$ d'øù $\displaystyle \,\,\,\,\partial_{m}\,(g_{ik}\,g^{kj})=\partial_{m}\,(\delta_{i}^{j})=0$

D'autre part, on a :

$\displaystyle \partial_{m}\,(g_{ik}\,g^{kj})=g_{ik}\,\partial_{m}\,g^{kj}+g^{kj... ...\,\,\,\,,soit\,\,\,\,g_{ik}\,\partial_{m}\,g^{kj}=-g^{kj}\,\partial_{m}\,g_{ik}$

Multipliant par $g^{il}$ et sommant, il vient :

$\displaystyle g^{il}\,g_{ik}\,\partial_{m}\,g^{kj}=-g^{il}\,g^{kj}\,\partial_{m}\,g_{ik}$

Utilisant de nouveau la relation (1.102) ainsi que la relation obtenue à la question (1), on obtient :

$\displaystyle \delta_{k}^{i}\,\partial_{m}\,g^{kj}=-g^{il}\,g^{kj}\,(\textrm{$\Gamma_{ikm}$}+\textrm{$\Gamma_{mik}$})\,\,\,\,$ soit $\displaystyle \,\,\,\,\partial_{m}\,g^{lj}=-g^{li}\,\textrm{$\Gamma^{}_{m}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}-g^{jk}\,\textrm{$\Gamma^{}_{m}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{k}$}$

Exercice 5.9

Démontrer que les dérivées covariantes des composantes des tenseurs suivants sont nulles :

Tenseur de Kronecker : $\delta_{i}^{k}$
Tenseur fondamental, à partir de ses composantes covariantes $g_{ij}$ , en utilisant les résultats de l'exercice (5.8).
Faire de même à partir des composantes contravariantes $g^{ik}$ .
Déduire des résultats précédents, le théorème de Ricci :

D $\displaystyle \,g_{ij}=$ D $\displaystyle \,g^{ij}=0$

Solutions

Les composantes de la dérivée covariante du tenseur $\delta_{i}^{k}$ sont données, selon la formule générale (5.88), par :

$\displaystyle \nabla_{k}\,\delta^{r}_{s}=\partial_{k}\,\delta^{r}_{s}+\delta^{i... ..._{k}$$^{}_{}$$^{r}$$^{}_{s}$}-\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{r}$$^{}_{s}$}=0$
Pour le tenseur fondamental $g_{ij}$ , on a :

$\displaystyle \nabla_{k}\,g_{ij}=\partial_{k}\,g_{ij}-g_{lj}\,\textrm{$\Gamma^{... ...$^{}_{j}$}=\partial_{k}\,g_{ij}-\textrm{$\Gamma_{kji}$}-\textrm{$\Gamma_{kij}$}$

La question (1) de l'exercice (5.8) nous donne : $\partial_{k}\,g_{ij}=\textrm{$\Gamma_{jik}$}+\textrm{$\Gamma_{kji}$}$ , d'où :

$\displaystyle \nabla_{k}\,g_{ij}=0$
Les composantes contravariantes du tenseur fondamental s'écrivent :

$\displaystyle \nabla_{k}\,g^{ij}=\partial_{k}\,g^{ij}+g^{lj}\,\textrm{$\Gamma^{... ...^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}+g^{il}\,\textrm{$\Gamma^{}_{l}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{k}$}$

L'exercice (5.8) question (2) nous donne, en changeant les indices :

$\displaystyle \partial_{k}\,g^{ij}=-g^{li}\,\textrm{$\Gamma^{}_{l}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{k}$}-g^{lj}\,\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{l}$}$

d'où : $\nabla_{k}\,g^{ij}=0$
La différentielle absolue des composantes d'un tenseur $g_{ij}$ est donnée par :

D $\displaystyle \,g_{ij}=\nabla_{k}\,g_{ij}\,$ d $\displaystyle \,u^{k}$

où les $u^{k}$ sont les coordonnées curvilignes de l'espace ponctuel considéré. Puisque toutes les dérivées covariantes sont nulles, on a :

D $\displaystyle \,g_{ij}=0$

et de même D $\,g^{ij}=0$ . C'est le théorème de Ricci.