Espaces de Riemann - Exercices résolus

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Table des matières

Sous-sections

On va établir les équations des géodésiques en écrivant que, le long d'un segment infinitésimal d $\,\mathbf{l}$ d'une courbe $C(y^{1},y^{2},...,y^{n})$ , le transport parallèle d'un vecteur $\mathbf{A}$ donne une différentielle absolue nulle.

Écrire l'expression de d $\,\mathbf{A}$ sur la base du repère naturel.
Paramétrer la courbe $C(y^{1},y^{2},...,y^{n})$ et écrire la dérivée absolue des composantes $A^{k}$ du vecteur.
Appliquer la formule obtenue au vecteur d $\,\mathbf{l}$ , de composantes contravariantes d $\,y^{k}$ et en déduire les équations des géodésiques.

Solutions

Lors d'un transport parallèle, la différentielle absolue du vecteur $\mathbf{A}$ est nulle, soit :

d $\displaystyle \,\mathbf{A}=$ D $\displaystyle \,A^{k}\,\mathbf{e_{k}}=(\partial_{j}\,A^{k}+A^{i}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{j}$})\,$ d $\displaystyle \,y^{j}\,\mathbf{e_{k}}=\mathbf{0}$
Soit un paramètre arbitraire ; la courbe suivie a pour coordonnées $y^{i}(t)$ . L'identification de chaque composante de d $\,\mathbf{A}$ aux composantes du vecteur nul, nous donne :

$\displaystyle \dfrac{\text{D}\,A^{k}}{\text{d}\,t}=(\partial_{j}\,A^{k}+A^{i}\,... ...{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{j}$})\dfrac{\text{d}\,y^{j}}{\text{d}\,t}=0$

On a :

$\displaystyle \partial_{j}\,A^{k}\,\dfrac{\text{d}\,y^{j}}{\text{d}\,t}=\dfrac{\text{d}\,A^{k}}{\text{d}\,t}$

d'où :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}\,A^{k}}{\text{d}\,t}+A^{i}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{j}$}\,\dfrac{\text{d}\,y^{j}}{\text{d}\,t}=0$
Appliquons la formule précédente au déplacement infinitésimal d $\,\mathbf{l}$ de composantes d $\,y^{i}$ . Pour cela, remplaçons $A^{k}$ par d $\,y^{k}/$ d $\,t$ ; on obtient :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}^{2}\,y^{k}}{\text{d}\,t^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{... ...}\,\dfrac{\text{d}\,y^{j}}{\text{d}\,t}\,\dfrac{\text{d}\,y^{i}}{\text{d}\,t}=0$

Ce sont les équations (5.60) des géodésiques.

Exercice 6.2

Soit l'abscisse curviligne d'un mobile le long d'une courbe $C(y^{1},...,y^{n})$ , c'est-à-dire la distance parcourue en fonction du temps à partir d'un point origine.

Prenant comme paramètre de la courbe l'abscisse curviligne , on a $y^{i}=y^{i}(s)$ . Écrire les équations des géodésiques en fonction de ce paramètre.
Soit $u^{i}=$ d $\,y^{i}/$ d $\,s$ ; démontrer que les équations des géodésiques s'écrivent sous la forme :

$\displaystyle u^{k}\,\nabla_{k}\,u^{i}=0$
Soient $\alpha$ et $\beta$ deux paramètres arbitraires ; montrer que les paramètres qu'on peut choisir pour obtenir les équations des géodésiques sont liés entre eux par une relation linéaire.

Solutions

Le paramétrage de la courbe étant arbitraire, les équations des géodésiques s'érivent, selon (5.60) :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}^{2}\,y^{k}}{\text{d}\,s^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{... ...}\,\dfrac{\text{d}\,y^{j}}{\text{d}\,s}\,\dfrac{\text{d}\,y^{i}}{\text{d}\,s}=0$
Le vecteur $u^{i}$ est le vecteur unité tangent à la courbe . Par suite de son interprétation cinématique, le vecteur $u^{i}$ est appelé le vecteur vitesse unitaire. Les équations des géodésiques s'écrivent :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}^{2}\,y^{i}}{\text{d}\,s^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{... ...{}_{k}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}\,u^{j})\,\dfrac{\text{d}\,y^{k}}{\text{d}\,s}=0$

soit : $u^{k}\,\nabla_{k}\,u^{i}=0$
Écrivons les équations des géodésiques pour des paramètres $\alpha$ et $\beta$ :

(1) $\displaystyle \,\,\,\,\,\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{k}}{\text{d}\,\alpha^{2}}+\text... ...c{\text{d}\,y^{j}}{\text{d}\,\beta}\,\dfrac{\text{d}\,y^{i}}{\text{d}\,\beta}=0$

Les paramètres $\alpha$ et $\beta$ sont tels que :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}\,y^{i}}{\text{d}\,\alpha}=\dfrac{\text{d}\,y^{i}}... ...{d}\,y^{i}}{\text{d}\,\beta}\,\dfrac{\text{d}^{2}\,\beta}{\text{d}\,\alpha^{2}}$

Portant ces deux dernières égalités dans les équations des géodésiques (1) exprimées en fonction de $\alpha$ , il vient :

(3) $\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\bigg(\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{i}}{\text{d}\,\beta^{... ...}\,y^{i}}{\text{d}\,\beta}\,\dfrac{\text{d}^{2}\,\beta}{\text{d}\,\alpha^{2}}=0$

Pour identifier entre elles les expressions (1) et (3), il faut et il suffit que l'on ait :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}^{2}\,\beta}{\text{d}\,\alpha^{2}}=0$

Cette équation a pour solution générale : $\beta=A\,\alpha+B$ , où et sont des constantes arbitraires. En particulier, les équations des géodésiques correspondent à la trajectoire d'un mobile ayant une accélération nulle, donc une vitesse constante. Dans ce cas, on a bien : $s=v\,t+s_{0}$ , où $s_{0}$ est l'abscisse curviligne d'un point arbitraire sur la géodésique.

Exercice 6.3

Partant de l'expression de la dérivée covariante première $\nabla_{j}\,v_{i}$ d'un vecteur $v_{i}$ , calculer l'expression de la dérivée covariante seconde $\nabla_{k}\,(\nabla_{j}\,v_{i})$ de ce vecteur.
Montrer que la différence :

$\displaystyle \nabla_{k}\,(\nabla_{j}\,v_{i})-\nabla_{j}\,(\nabla_{k}\,v_{i})$

s'exprime en fonction du tenseur de Riemann-Christoffel. À quelle condition la dérivation covariante est-elle permutable, c'est-à-dire à quelle condition obtient-on : $\nabla_{k}\,(\nabla_{j}\,v_{i})=\nabla_{j}\,(\nabla_{k}\,v_{i})$ ?
Pour quel genre d'espace ponctuel la dérivation covariante est-elle permutable ?

Solutions

La dérivée covariante seconde a été obtenue par la formule (5.100), soit :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} \nabla_{k}(\nabla_{j}\,v_{i})&=&\partia... ...xtrm{$\Gamma^{}_{r}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{i}$}\,v_{l} \end{array}\end{displaymath}$
La différence $\nabla_{k}\,(\nabla_{j}\,v_{i})-\nabla_{j}\,(\nabla_{k}\,v_{i})$ est donnée par la relation (6.99), soit :

$\displaystyle \nabla_{k}(\nabla_{j}\,v_{i})-\nabla_{j}(\nabla_{k}\,v_{i})=(\par... ...{}_{}$$^{r}$$^{}_{j}$}\,\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{r}$})\,v_{l}$

où le terme entre parenthèses est tenseur de Riemann-Christoffel $\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{l}$$_{}$$_{j}$$_{k}$}$ . La dérivation covariante est permutable si tous les $\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{l}$$_{}$$_{j}$$_{k}$}$ sont nuls.
Tous les symboles de Christoffel sont nuls dans l'espace euclidien en coordonnées rectilignes ; en conséquence, tous les $\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{l}$$_{}$$_{j}$$_{k}$}$ sont nuls dans tout autre système de coordonnées curvilignes de l'espace euclidien, car tout tenseur nul pour un système de coordonnées l'est aussi pour tout autre système. La dérivée covariante est donc permutable dans l'espace euclidien. Par contre, le tenseur de Riemann-Christoffel d'un espace de Riemann n'est pas nul en général, et la dérivation covariante ne sera pas permutable, en général, pour un tel espace.

Exercice 6.4

Si le déterminant de la matrice du tenseur fondamental $g_{ij}$ n'est pas défini positif, une courbe d'un espace de Riemann peut avoir une longueur nulle. C'est ce que nous allons voir en considérant dans $E_{4}$ l'élément linéaire :

d $\displaystyle \,s^{2}=($ d $\displaystyle \,u^{1})^{2}+($ d $\displaystyle \,u^{2})^{2}+($ d $\displaystyle \,u^{3})^{2}-($ d $\displaystyle \,u^{4})^{2}$

ainsi que la courbe suivante : $u^{1}=3\,$ cos $\,\alpha$ ; $u^{2}=3\,$ sin $\,\alpha$ ; $u^{3}=4\,\alpha$ ; $u^{4}=5\,\alpha$

Calculer la longueur de l'arc de courbe lorsque $\alpha$ varie de 0 à , avec $b\,\leqslant\,1$ .

Solutions

Le long de la courbe considérée, on a :

d $\displaystyle \,u^{1}=-3\,$ sin $\displaystyle \,\alpha\,$ d $\displaystyle \,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,$ d $\displaystyle \,u^{2}=3\,$ cos $\displaystyle \,\alpha\,$ d $\displaystyle \,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,$ d $\displaystyle \,u^{3}=4\,$ d $\displaystyle \,\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,$ d $\displaystyle \,u^{4}=5\,$ d $\displaystyle \,\alpha$

L'élément linéaire a pour expression :

d $\displaystyle \,s^{2}=g_{ij}\,$ d $\displaystyle \,u^{i}\,$ d $\displaystyle \,u^{j}=(9\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\alpha+9\,$ cos $\displaystyle ^{2}\,\alpha+16-25)\,$ d $\displaystyle \,\alpha^{2}=0$

Par conséquent, la longueur de l'arc de courbe est nulle :

$\displaystyle \mathlarger{\int}_{0}^{b}\,\sqrt{g_{ij}\,\text{d}\,u^{i}\,\text{d}\,u^{j}}=0$

Exercice 6.5

Une géodésique sera de longueur nulle si l'on a : $g_{ij}\,$ d $\,u^{i}\,$ d $\,u^{j}=0$ en tout point de la géodésique.

Établir l'équation des géodésiques de longueur nulle lorsque les composantes $g_{ij}$ du tenseur fondamental sont des constantes.
Dans le cas de la Relativité Restreinte, on a :

$\displaystyle g_{11}=g_{22}=g_{33}=-g_{44}=1\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,g_{ij}=0\,\,\,\,$ si $\displaystyle \,\,\,i\,\neq\,j$

Déterminer l'équation des géodésiques de longueur nulle et la surface engendrée par celles-ci.

Solutions

Lorsque les $g_{ij}$ sont des constantes, les symboles de Christoffel $\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{j}$}$ sont tous nuls. L'équation des géodésiques se réduit à :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}^{2}\,u^{i}}{\text{d}\,\alpha^{2}}=0$

dont la solution générale est : $u^{i}=A^{i}\,\alpha+B^{i}$ . La condition de nullité de longueur de la géodésique : $g_{ij}\,$ d $\,u^{i}\,$ d $\,u^{j}=0$ , nous donne : $g_{ij}\,A^{i}\,A^{j}=0$ ; éliminons les coefficients $A^{i}$ de cette équation ; il vient :

$\displaystyle g_{ij}\,(u^{i}-B^{i})\,(u^{j}-B^{j})=0$

C'est l'équation des géodésiques de longueur nulle.
Dans le cas de la Relativité Restreinte, l'équation des géodésiques devient :

$\displaystyle (u^{1}-u^{1}_{0})^{2}+(u^{2}-u^{2}_{0})^{2}+(u^{3}-u^{3}_{0})^{2}-(u^{4}-u^{4}_{0})^{2}=0$

C'est l'équation d'un hyperbole ou "cône de lumière" de la Relativité Restreinte. Les régions du "futur absolu" et du "passé absolu" se trouvent respectivement dans l'une ou l'autre des deux nappes du cône.

Exercice 6.6

Le tenseur de Ricci $R_{is}$ est donné par la formule (6.137), soit :

$\displaystyle R_{is}=\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$_{}$$_{k}$$_{s}$}=\partial_{... ...}_{i}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{k}$}\,\textrm{$\Gamma^{}_{s}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{l}$}$

On se propose de déterminer les valeurs des $R_{is}$ pour la métrique suivante :

$\displaystyle g_{11}=1\,\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{22}=2\,x^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{33}=2\,x^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{ij}=0\,\,\,\,$ si $\displaystyle \,\,\,i\,\neq\,j$

Calculer les symboles de Christoffel de deuxième espèce.
Calculer les composantes mixtes $\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$_{}$$_{r}$$_{s}$}$ du tenseur de Riemann-Christoffel.
Calculer les composantes covariantes du tenseur de Riemann-Christoffel.
Écrire l'expression des composantes covariantes $R_{is}$ du tenseur de Ricci en fonction des composantes covariantes du tenseur de Riemann-Christoffel et calculer les $R_{is}$ .
Calculer la courbure scalaire ou courbure de Ricci.

Solutions

Le calcul des symboles de Christoffel de deuxième espèce peut se faire en utilisant les formules de l'exercice (5.4), à savoir :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{i}$}=(1/2)\,\partial_{j}\,$ ln $\displaystyle \vert g_{ii}\vert$

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}=-(1/2\,g_{ii})\,\partial_{i}\,g_{jj}\,\,\, ;$ avec $\displaystyle i\,\neq\,j$

Tous les autres symboles $\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}$ sont nuls $\displaystyle .$

On obtient :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{2}$}=-1\,\,\,;\,\,\,\t... ...$$^{}_{3}$}=\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{2}$}=\dfrac{1}{2\,x^{2}}$
La formule (6.100) donne l'expression des composantes mixtes $\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{l}$$_{}$$_{j}$$_{k}$}$ du tenseur de Riemann-Christoffel, soit :

$\displaystyle \textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{l}$$_{}$$_{j}$$_{k}$}=\partial_{j}\,\te... ...}_{i}$$^{}_{}$$^{r}$$^{}_{j}$}\,\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{r}$}$

On obtient :

$\displaystyle \textrm{$R_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$_{}$$_{1}$$_{2}$}$ $\displaystyle =\dfrac{1}{2\,x^{1}}\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$R_{3}$$^{}_{}$$^{1}... ...\,\,\textrm{$R_{3}$$^{}_{}$$^{2}$$_{}$$_{2}$$_{3}$}=-\dfrac{1}{4\,x^{1}\,x^{2}}$

$\displaystyle \textrm{$R_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$_{}$$_{1}$$_{3}$}$ $\displaystyle =0\,\,\,\,;\,\,\,\,\textrm{$R_{1}$$^{}_{}$$^{2}$$_{}$$_{2}$$_{3}$... ...,\,\,\textrm{$R_{1}$$^{}_{}$$^{3}$$_{}$$_{3}$$_{2}$}=\dfrac{1}{4\,x^{1}\,x^{2}}$
Les composantes covariantes du tenseur de Riemann-Christoffel sont données par la formule (6.101), soit :

$\displaystyle R_{ijrs}=g_{jk}\,\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$_{}$$_{r}$$_{s}$}$

De nombreuses valeurs se déduisent les unes des autres à parir des propriétés de symétrie ( (6.113), (6.114) et (6.115)). On obtient :

$\displaystyle R_{2112}$ $\displaystyle =g_{11}\,\textrm{$R_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$_{}$$_{1}$$_{2}$}=\dfrac{1}{2\,x^{1}}=-R_{2121}=R_{1221}$

$\displaystyle R_{3223}$ $\displaystyle =g_{22}\,\textrm{$R_{3}$$^{}_{}$$^{2}$$_{}$$_{2}$$_{3}$}=-\dfrac{1}{2\,x^{2}}=R_{2332}$

$\displaystyle R_{1332}$ $\displaystyle =g_{33}\,\textrm{$R_{1}$$^{}_{}$$^{3}$$_{}$$_{3}$$_{2}$}=\dfrac{1}{2\,x^{1}}=R_{3123}$
Les composantes du tenseur de Ricci s'écrivent :

$\displaystyle R_{ij}=g^{11}\,R_{1ij1}+g^{22}\,R_{2ij2}+g^{33}\,R_{3ij3}$

et les composantes contravariantes du tenseur fondamental sont données par :

$\displaystyle g^{11}=1\,\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{22}=\dfrac{1}{2\,x^{1}}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{33}=\dfrac{1}{2\,x^{2}}$

d'où :

$\displaystyle R_{11}$ $\displaystyle =g^{22}\,R_{2112}=\dfrac{1}{4\,(x^{1})^{2}}$

$\displaystyle R_{22}$ $\displaystyle =g^{11}\,R_{1221}+g^{33}\,R_{2332}=\dfrac{1}{2\,x^{1}}-\dfrac{1}{4\,(x^{2})^{2}}$

$\displaystyle R_{33}$ $\displaystyle =g^{22}\,R_{2332}=-\dfrac{1}{4\,x^{1}\,x^{2}}$
La courbure scalaire ou courbure de Ricci est définie par :

$\displaystyle R=R_{i}^{i}=g^{ij}\,R_{ij}$

d'où :

$\displaystyle R=g^{11}\,R_{11}+g^{22}\,R_{22}+g^{33}\,R_{33}=\dfrac{2\,(x^{2})^{2}-x^{1}}{(2\,x^{1}\,x^{2})^{2}}$