Tenseur de Riemann-Christoffel

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Tenseur de Riemann-Christoffel

Détermination du tenseur de Riemann-Christoffel

Nous avons vu que le développement de deux chemins différents, partant et aboutissant à deux mêmes points, donne des repères dont les positions finales sont distinctes. Par suite, les composantes de la dérivée seconde d'un vecteur, calculées selon deux chemins différents, ne sont pas égales.

Calculons la dérivée covariante seconde d'un vecteur en utilisant deux chemins différents. Considérons un espace de Riemann de coordonnées $u^{i}$ et déterminons la dérivée covariante seconde par rapport à $u^{j}$ , puis par rapport à $u^{k}$ et ensuite, inversons l'ordre des dérivations.

Pour cela, reprenons l'expression (5.100) de la dérivée covariante seconde d'un vecteur $\mathbf{V}$ de composantes covariantes $v_{i}$ , soit :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} \nabla_{k}(\nabla_{j}\,v_{i})&=&\partia... ...xtrm{$\Gamma^{}_{r}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{i}$}\,v_{l} \end{array}\end{displaymath}$

(6.97)

Calculons à présent la dérivée covariante d'abord par rapport à $u^{k}$ puis par rapport à $u^{j}$ . On obtient, en permutant les indices et dans l'expresion précédente :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} \nabla_{j}(\nabla_{k}\,v_{i})&=&\partia... ...xtrm{$\Gamma^{}_{r}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{i}$}\,v_{l} \end{array}\end{displaymath}$

(6.98)

En admettant que les composantes vérifient les propriétés classiques $\partial_{kj}\,v_{i}=\partial_{jk}\,v_{i}$ , on obtient par soustraction des deux expressions précédentes :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} \nabla_{k}(\nabla_{j}\,v_{i})-\nabla_{j... ...trm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{r}$})\,v_{l} \end{array}\end{displaymath}$

(6.99)

Par suite des propriétés tensorielles des dérivées covariantes et des composantes $v_{l}$ , la quantité entre parenthèses est un tenseur d'ordre quatre que l'on note :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} \textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{l}$$_{}$$_{j}... ...$}\,\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{r}$} \end{array}\end{displaymath}$

(6.100)

Le tenseur $\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{l}$$_{}$$_{j}$$_{k}$}$ est appelé tenseur de Riemann-Christoffel ou tenseur de courbure de l'espace riemannien. La courbure d'un espace de Riemann va être caractérisée à l'aide de ce tenseur. Auparavant nous allons voir certaines propriétés du tenseur de Riemann-Christoffel.

Composantes covariantes

Les composantes covariantes du tenseur de Riemann-Christoffel sont données par :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} R_{ijrs}=g_{jk}\,\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$_{}$$_{j}$$_{k}$} \end{array}\end{displaymath}$

(6.101)

Utilisons les relations suivantes entre les symboles de Christoffel de première et de deuxième espce :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} g_{jk}\,\textrm{$\Gamma^{}_{r}$$^{}_{}$... ...\Gamma^{}_{s}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{l}$}=\Gamma_{sjl} \end{array}\end{displaymath}$

(6.102)

et remplaçons les quantités $g_{jk}\,\partial_{r}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{s}$}$ par $\partial_{r}(g_{jk}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{s}$})-\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{s}$}\,\partial_{r}\,g_{jk}$ dans la relation (6.101). On obtient, après permutation de et :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} R_{ijrs}=\partial_{r}\,(g_{jk}\,\textrm... ...{l}$$^{}_{r}$}\,(\Gamma_{sjl}-\partial_{s}\,g_{jl}) \end{array}\end{displaymath}$

(6.103)

La relation (5.28) nous donne :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma_{kij}$}-\partial_{k}\,g_{ij}=-\textrm{$\Gamma_{kji}$}$

(6.104)

Après permutation sur les indices et utilisation des relations (6.102) dans l'expression (6.104), on obtient :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} R_{ijrs}=\partial_{r}\,\Gamma_{ijs}-\pa... ...Gamma^{}_{s}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{j}$}\,\Gamma_{ikr} \end{array}\end{displaymath}$

(6.105)

Remplaçons les symboles de Christoffel par leur expression en fonction des coefficients $g_{ij}$ de l'élément linéaire ; on a selon la relation (5.38) :

$\displaystyle 2\,\partial_{r}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{s}$}=\partial_{ri}\,g_{sj}+\partial_{rs}\,g_{ji}-\partial_{rj}\,g_{is}$

(6.106)

Reportant les expressions (6.106) dans (6.105), on obtient finalement :

$\begin{displaymath}\begin{array}[b]{lcl} R_{ijrs}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{ri}\,... ...Gamma^{}_{s}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{j}$}\,\Gamma_{ikr} \end{array}\end{displaymath}$

(6.107)

Système de coordonnées normales

Il est intéressant d'introduire un système de coordonnées locales particulières pour les espaces de Riemann, appelées coordonnées normales, car elles permettent de simplifier considérablement la démonstration de certaines identités, en particulier pour le tenseur de Riemann-Christoffel.

Soit un point $M_{0}$ d'un espace riemannien, de coordonnées $y^{i}$ . Donnons-nous en ce point un vecteur unitaire $\mathbf{n}$ de direction arbitraire, de composantes $n^{i}$ . Pour chaque point situé au voisinage de $M_{0}$ , on démontre qu'il existe un seul choix de direction $\mathbf{n}$ en $M_{0}$ de telle sorte qu'une géodésique $z^{i}(s)$ , solution des équations (6.56), passe par .

Prenons pour chaque point du voisinage de $M_{0}$ , les coordonnées suivantes :

$\displaystyle z^{i}=s\,n^{i}$

(6.108)

où est la distance le long de la géodésique de $M_{0}$ en . Les coordonnées $z^{i}$ sont appelées les coordonnées normales du point .

La propriété essentielle des coordonnées normales réside dans le fait que, au point $M_{0}$ , les symboles de Christoffel du système de coordonnées sont tous nuls, de même que les dérivées $\partial_{k}\,g_{ij}$ en ce point. Démontrons qu'il en est bien ainsi. Selon (6.108), on obtient pour $n^{i}$ fixé :

$\displaystyle \dfrac{\text{d}\,z^{i}}{\text{d}\,s}=n^{i}\,\,\,\,;\,\,\,\,\dfrac{d^{2}\,z^{i}}{\text{d}\,s^{2}}=0$

(6.109)

L'équation des géodésiques écrite en coordonnées $z^{i}$ devient alors, compte tenu de (6.109), pour toutes les directions en $M_{0}$ :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}\,n^{j}\,n^{k}=0$

(6.110)

Puisque $\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}$ est symétrique par rapport aux indices , , on a pour tout : $\textrm{$\Gamma^{}_{j}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{k}$}=0$ en $M_{0}$ pour tout , , . De plus, on a les relations :

$\displaystyle \Gamma_{ikj}=g_{kr}\,\textrm{$\Gamma^{}_{i}$$^{}_{}$$^{r}$$^{}_{j}$}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,\Gamma_{ikj}+\Gamma_{jik}=\partial_{k}\,g_{ij}$

(6.111)

d'où : $\partial_{k}\,g_{ij}=0$ en $M_{0}$ . D'autre part, puisque l'on a : $g^{ij}\,g_{jr}=\delta^{ir}$ , la dérivée des produits conduit à $\partial_{k}\,g^{ij}=0$ en $M_{0}$ .

L'utilisation des coordonnées normales $z^{i}$ va nous permettre de démontrer plus aisément les propriétés de symétrie du tenseur de Riemann-Christoffel.

Propriétés de symétrie

En coordonnées normales $z^{i}$ , l'expression (6.107) du tenseur de courbure se simplifie puisque les symboles de Christoffel sont tous nuls ; il vient :

$\displaystyle R_{ijrs}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{ri}\,g_{sj}+\partial_{sj}\,g_{ir}-\partial_{rj}\,g_{is}-\partial_{si}\,g_{rj})$

(6.112)

où les composantes $g_{ij}$ du tenseur métrique sont des fonctions des coordonnées normales. En permutant les indices, on obtient aisément les propriétés de symétrie suivantes qui restent valables pour tout système de coordonnées car une propriété de symétrie sur les indices est une notion indépendante du repère utilisé pour la décrire. Permutons les indices et dans la relations (6.112), on obtient :

$\displaystyle R_{jirs}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{rj}\,g_{si}+\partial_{si}\,g_{jr}-\partial_{ri}\,g_{js}-\partial_{sj}\,g_{ri})=-R_{ijrs}$

(6.113)

De même, en permutant et , on obtient :

$\displaystyle R_{ijrs}=-R_{ijsr}$

(6.114)

Enfin, en permutant les indices et , on obtient, par suite de la symétrie des $g_{ij}$ et en intervertissant leur ordre de dérivation :

$\displaystyle R_{ijrs}=R_{rsij}$

(6.115)

Première identité de Bianchi

Effectuons une permutation circulaire sur les indices , , dans l'expression (6.112), il vient :

$\displaystyle R_{irsj}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{jr}\,g_{is}+\partial_{is}\,g_{jr}-\partial_{rs}\,g_{ij}-\partial_{ij}\,g_{rs})$

(6.116)

$\displaystyle R_{isjr}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{rs}\,g_{ij}+\partial_{ij}\,g_{rs}-\partial_{js}\,g_{ir}-\partial_{ir}\,g_{js})$

(6.117)

L'addition des relations (6.112), (6.116) et (6.117) nous donne :

$\displaystyle R_{ijrs}+R_{irsj}+R_{isjr}=0$

(6.118)

L'identité précédente est appelée la première identité de Bianchi.

Composantes indépendantes

Les propriétés d'antisymétrie (6.113) et (6.114) montrent qu'un certain nombre de composantes $R_{ijrs}$ lorsque ou , sont nulles. D'autre part, la relation (6.115) ainsi que la première identité de Bianchi montrent que de nombreuses composantes se déduisent l'une de l'autre.

Le nombre total des composantes du tenseur de courbure d'un espace de Riemann à dimensions qui ne sont pas nulles et qui sont indépendantes des autres composantes, est égal à : $n^{2}(n^{2}-1)/12$ .

Ainsi, pour un espace de Riemann de dimension deux, le tenseur de Riemann-Christoffel a une seule composante indépendante. Parmi les 16 composantes $R_{ijrs}$ , les seules composantes non nulles sont :

$\displaystyle R_{1212}=R_{2121}=-R_{1221}=-R_{2112}$

(6.119)

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